Cohérence

(i) Si $T \vdash \varphi$ et $T \vdash \neg\varphi$, la tautologie $\neg\varphi \to (\varphi \to \chi)$ et deux modus ponens donnent $T \vdash \chi$ pour toute formule $\chi$. Réciproquement, si $T$ démontre toutes les formules, elle démontre par exemple $x_0 = x_0$ et $\neg\, x_0 = x_0$ : elle est incohérente.

(ii) Si $T \cup \{\neg\varphi\}$ était incohérente, elle démontrerait $\varphi$ par (i). Le théorème de la déduction donnerait $T \vdash \neg\varphi \to \varphi$, et la tautologie $(\neg\varphi \to \varphi) \to \varphi$ donnerait $T \vdash \varphi$, ce qui est exclu.