Le paradoxe des anniversaires

Dans un groupe de $23$ personnes, il y a plus d'une chance sur deux que deux d'entre elles aient le même anniversaire. On le calcule en comptant les listes sans répétition, on le vérifie en tirant des groupes au hasard, et l'on voit pourquoi l'intuition se trompe.

On choisit le nombre $n$ de personnes et le calendrier ($d = 365$ jours, $12$ mois ou $7$ jours). La page trace la probabilité $P(n) = 1 - \dfrac{d(d-1)\cdots(d-n+1)}{d^n}$ que deux personnes au moins aient le même anniversaire, et celle, $1 - \left(1 - \dfrac1d\right)^n$, que l'une d'elles ait le même anniversaire que vous ; elle tire des groupes au hasard et signale leurs coïncidences.

Ce que cela signifie : avec $365$ jours, $P(22) \approx 0{,}4757$ et $P(23) \approx 0{,}5073$ ; $P(50) \approx 0{,}9704$, et $P(57) \approx 0{,}9901$. Un groupe de $23$ personnes contient $253$ paires, autant d'occasions de coïncidence. Dès que $n > d$, la probabilité vaut exactement $1$ : c'est le principe des tiroirs.

Le piège le plus courant est de confondre les deux questions : pour $n = 23$, la probabilité que quelqu'un ait le même anniversaire que vous n'est que d'environ $0{,}061$, et il faut $253$ personnes pour qu'elle dépasse $\dfrac12$. L'autre erreur est d'additionner les probabilités des $253$ paires, ce qui donnerait $\dfrac{253}{365} \approx 0{,}69$.