Les ponts de Königsberg

Tracer une figure d'un seul trait, sans repasser sur aucun. Pour les sept ponts de Königsberg, c'est impossible, et Euler l'a montré en comptant les traits qui aboutissent à chaque sommet. On joue sur des figures classiques, tirées au hasard, ou que l'on dessine soi-même.

On parcourt tous les traits d'une figure, chacun une fois, sans lever le crayon : la figure de Königsberg (quatre quartiers, sept ponts), l'enveloppe, le pentagone étoilé, des figures tirées au hasard ou dessinées par le joueur. La page peut afficher les degrés des sommets, dire si le tracé est possible, et conseiller un trait.

Ce que cela signifie : une figure connexe se trace d'un seul trait si et seulement si elle a zéro ou deux sommets de degré impair ; dans le second cas, il faut partir de l'un et l'on finit à l'autre. À Königsberg, les degrés sont $5$, $3$, $3$ et $3$ : quatre sommets impairs, la promenade est impossible. Les deux sens du théorème sont démontrés dans la page, ainsi que le lemme des poignées de main : la somme des degrés est le double du nombre de traits, donc le nombre de sommets impairs est pair.

Le piège le plus courant est de partir de n'importe où : avec deux sommets impairs, comme dans l'enveloppe ouverte, il faut partir de l'un d'eux.