Le solitaire

Un pion saute par-dessus son voisin, qui est retiré ; il faut n'en laisser qu'un. Trois couleurs et un argument de parité disent où le dernier pion peut finir, et pourquoi le plateau français ne peut pas être vidé en partant du centre.

On joue sur le plateau anglais, à $33$ trous, ou sur le plateau français, à $37$ trous, avec le trou de départ de son choix. La page signale les blocages, permet d'annuler, colorie les trous de trois couleurs en diagonale et compte les pions sur chacune ; elle montre les arrivées permises pour le dernier pion et peut chercher un coup menant à la victoire.

Ce que cela signifie : un saut retire un pion de deux couleurs et en ajoute un sur la troisième, donc les trois nombres de pions par couleur changent tous de parité à chaque coup. Avec un seul pion, ils valent $1$, $0$, $0$. Sur le plateau anglais, trou central vide, cela ne laisse que $5$ arrivées : le centre et les milieux des quatre bords, toutes atteintes. Sur le plateau français, trou central vide, les trois nombres valent $12$ au départ et gardent la même parité : finir avec un seul pion est impossible.

Le piège le plus courant est de prendre des échecs répétés pour une preuve d'impossibilité, ou un invariant satisfait pour une preuve de possibilité : l'invariant ne donne qu'une condition nécessaire.