Les transvasements

Deux récipients sans graduation, de $3$ et $5$ litres : comment mesurer exactement $4$ litres ? On remplit, on vide, on transvase, en cherchant le chemin le plus court. Le théorème de Bézout dit quelles quantités sont accessibles, et la démonstration est donnée en entier.

On règle les capacités $a$ et $b$ (de $2$ à $12$ litres) et la quantité à mesurer, puis on remplit, vide ou transvase. Chaque état est un point d'un quadrillage où le parcours se dessine. La page compte les opérations, donne le minimum à la fin, conseille un coup sur demande et dit si le but est accessible.

Ce que cela signifie : les quantités accessibles sont exactement les multiples de $\operatorname{pgcd}(a, b)$ compris entre $0$ et $\max(a, b)$. La page le démontre, par un invariant dans un sens et par le théorème de Bézout dans l'autre. Avec $3$ et $5$ litres, on mesure $4$ litres en $6$ opérations au minimum ; avec $6$ et $9$ litres, on ne mesure jamais $4$ litres.

Le piège le plus courant est de croire qu'avec de la patience toute quantité finit par être mesurable : les multiples du PGCD sont les seules.