Connecteurs et tables de vérité

Les connecteurs primitifs sont la négation $\neg$, qui porte sur une formule, et l'implication $\to$, qui en relie deux. Leur sens est fixé par leurs tables de vérité, règles finies qui associent à chaque valeur des arguments, $1$ pour le vrai et $0$ pour le faux, la valeur du connecteur.

Ce n'est qu'un calcul fini sur des symboles, mené dans la métathéorie (Cadre métathéorique), et aucune notion générale de fonction n'y intervient : $$\begin{array}{c|c} P & \neg P \\ \hline 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{array} \qquad\qquad \begin{array}{cc|c} P & Q & P \to Q \\ \hline 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{array}$$ Les autres connecteurs sont des abréviations : $P \wedge Q$ pour $\neg(P \to \neg Q)$, $P \vee Q$ pour $\neg P \to Q$, et $P \leftrightarrow Q$ pour $(P \to Q) \wedge (Q \to P)$.

Ainsi $P \wedge Q$ vaut $1$ si et seulement si $P$ et $Q$ valent $1$, $P \vee Q$ vaut $1$ si et seulement si l'un d'eux au moins vaut $1$, et $P \leftrightarrow Q$ vaut $1$ si et seulement si $P$ et $Q$ ont même valeur.

En effet, par la table de $\to$, la formule $P \to \neg Q$ ne vaut $0$ que si $P$ vaut $1$ et $\neg Q$ vaut $0$, c'est-à-dire si $P$ et $Q$ valent $1$ : sa négation $P \wedge Q$ vaut donc $1$ exactement dans ce cas. De même, $\neg P \to Q$ ne vaut $0$ que si $P$ et $Q$ valent $0$. Enfin $P \leftrightarrow Q$ vaut $1$ exactement quand les deux implications $P \to Q$ et $Q \to P$ valent $1$, c'est-à-dire quand on n'a ni $P = 1, Q = 0$, ni $P = 0, Q = 1$ : quand $P$ et $Q$ ont même valeur.