Exercice 57

1. (a) Pour $x = \frac{a}{b}$ non nul, avec $a, b \in \mathbb{Z}^{*}$, on pose $v_{p}(x) = v_{p}(a) - v_{p}(b)$, et $v_{p}(0) = +\infty$. Cette valeur ne dépend pas de l'écriture choisie : si $\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$, alors $ad = bc$, et la proposition 10 (i) donne $v_{p}(a) + v_{p}(d) = v_{p}(b) + v_{p}(c)$. La multiplicativité découle alors de la proposition 10 (i), le cas d'un facteur nul étant immédiat avec la convention $+\infty$.

(b) On réduit $x$ et $y$ au même dénominateur : $x = \frac{a}{c}$ et $y = \frac{b}{c}$. Si $k = \min\big(v_{p}(a), v_{p}(b)\big)$, alors $p^{k}$ divise $a$ et $b$, donc $a + b$, et $v_{p}(a + b) \geqslant k$. On retranche $v_{p}(c)$. On en déduit aussi le cas d'égalité, essentiel pour la suite : si $v_{p}(x) < v_{p}(y)$, alors $$v_{p}(x) = v_{p}\big((x + y) - y\big) \geqslant \min\big(v_{p}(x + y), v_{p}(y)\big),$$ ce qui impose $v_{p}(x + y) \leqslant v_{p}(x)$, donc $v_{p}(x + y) = v_{p}(x)$. $$\boxed{v_{p}(x + y) \geqslant \min\big(v_{p}(x), v_{p}(y)\big), \text{ avec égalité si } v_{p}(x) \neq v_{p}(y)}$$

2. Soit $k$ l'entier tel que $2^{k} \leqslant n < 2^{k + 1}$. Dans $[\![1\,;n]\!]$, l'entier $2^{k}$ est le seul de valuation $2$-adique $k$, puisque le multiple suivant de $2^{k}$ est $2^{k + 1} > n$, et tous les autres ont une valuation strictement inférieure. Ainsi $v_{2}\big(\frac{1}{2^{k}}\big) = -k$, et la somme $S$ des autres termes vérifie $v_{2}(S) > -k$ d'après la question 1 (b). Le cas d'égalité donne $v_{2}(H_{n}) = v_{2}\big(\frac{1}{2^{k}} + S\big) = -k$. $$\boxed{v_{2}(H_{n}) = -k, \quad \text{où } 2^{k} \leqslant n < 2^{k + 1}}$$ Par exemple, $H_{4} = \frac{25}{12}$ et $v_{2}(H_{4}) = -2$. ✓

3. Pour $n > 1$, on a $k \geqslant 1$, donc $v_{2}(H_{n}) < 0$, alors qu'un entier a une valuation positive : $H_{n} \notin \mathbb{Z}$.

Pour $m > n \geqslant 1$, on a $H_{m} - H_{n} = \sum_{j = n + 1}^{m} \frac{1}{j}$. Dans $[\![n + 1\,;m]\!]$, un seul entier a la plus grande valuation $2$-adique $k$ : si $2^{k}u < 2^{k}u'$ en avaient deux, avec $u$ et $u'$ impairs, l'entier $2^{k}(u + 1)$, compris entre eux, aurait une valuation strictement plus grande. Le raisonnement de la question 2 donne $v_{2}(H_{m} - H_{n}) = -k$. Si $k \geqslant 1$, on conclut. Si $k = 0$, l'intervalle ne contient aucun entier pair, donc se réduit à $\{n + 1\}$, et $H_{m} - H_{n} = \frac{1}{n + 1}$ avec $n + 1 \geqslant 2$. $$\boxed{H_{n} \notin \mathbb{Z} \text{ pour } n > 1, \quad H_{m} - H_{n} \notin \mathbb{Z} \text{ pour } m > n \geqslant 1}$$