Feuille d'exercicesMaths Sup – MPSI, chapitre 12

Arithmétique dans $\mathbb{Z}$

67 exercices corrigés · 12   35   14   6

Divisibilité et division euclidienne

• Exercice 1 Déterminer les couples (a, b) ∈ ℕ^2 tels que a ≤ 500 et que la division euclidienne de a par b s'écrive a = 24b + 17.
• Exercice 2 Trouver tous les entiers n ∈ ℕ vérifiant chacune des conditions suivantes. 1. n + 1 mid n + 3. 2. n + 2 mid n^2 + 3n + 5. 3. n + 1 mid n^2 + 1.
• Exercice 3 Soit n ∈ ℕ^(). Déterminer, selon la parité de n, le reste de la division euclidienne de 1 + 2 + … + n par n.
• Exercice 4 1. Soit n ≥ 2 un entier. Montrer que la somme de n entiers naturels impairs consécutifs n'est jamais un nombre premier. 2. Montrer que la somme des…
• Exercice 5 Résoudre dans ℤ^2 les équations suivantes, d'inconnue (n, p), en se ramenant à un produit de deux facteurs égal à une constante. 1. np = 3n + 2p. 2.…
• Exercice 6 Montrer que, pour tout entier n ≥ 1, n^2 divise (n + 1)^n - 1.
• Exercice 7 Écriture en base b. Soit b ≥ 2 un entier. 1. Montrer que tout entier n ∈ ℕ^() s'écrit de façon unique sous la forme n = Σ_(k = 0)^m c_kb^k, avec m ∈…

PGCD, PPCM et relation de Bézout

• Exercice 8 Pour chacun des couples (a, b) suivants, calculer a wedge b par l'algorithme d'Euclide, puis obtenir une relation de Bézout en remontant…
• Exercice 9 Soit k ∈ ℕ. Montrer que 2k + 1 et 9k + 4 sont premiers entre eux, et calculer (2k - 1) wedge (9k + 4).
• Exercice 10 Pour n ∈ ℕ, on pose u_n = n^2 + 1. Déterminer, selon les valeurs de n, le PGCD de deux termes consécutifs u_n wedge u_(n + 1).
• Exercice 11 Déterminer l'ensemble (2n + 4) wedge (3n + 3) mid n ∈ ℕ.
• Exercice 12 Le théorème de Lamé. On note (F_n)_(n ∈ ℕ) la suite de Fibonacci, définie par F_0 = 0, F_1 = 1 et F_(n + 2) = F_(n + 1) + F_n pour tout n ∈ ℕ. Soit…

Entiers premiers entre eux

• Exercice 13 Soit n ∈ ℕ^(). 1. Montrer que n^2 + n et 2n + 1 sont premiers entre eux. 2. Montrer que 3n^2 + 2n et n + 1 sont premiers entre eux.
• Exercice 14 Résoudre dans ℤ^2 les équations suivantes, d'inconnue (x, y). (i) 221x + 247y = 15 (ii) 221x + 247y = 13 (iii) 27x - 33y = 99 (iv) 5x + 3y = 4
• Exercice 15 Montrer que, pour tout n ∈ ℕ, l'entier n^4 - n^2 est un multiple de 12.
• Exercice 16 1. Soit m, d ∈ ℕ^(). À quelle condition le système { begin array{l} x wedge y = d x vee y = m end array. possède-t-il une solution (x, y) ∈ (ℕ^())^2…
• Exercice 17 Résoudre dans (ℕ^())^2 les équations suivantes, d'inconnue (x, y). 1. x wedge y + x vee y = x + y. 2. x wedge y + x vee y = y + 9.
• Exercice 18 Soit a et b deux entiers naturels non nuls. Montrer que (a + b) wedge (a vee b) = a wedge b.
• Exercice 19 Montrer que tout entier n > 6 est la somme de deux entiers strictement supérieurs à 1 et premiers entre eux.
• Exercice 20 Résoudre l'équation 3x + 4y + 5z = 6, d'inconnue (x, y, z) ∈ ℤ^3.
• Exercice 21 1. Soit a_0, …, a_(n - 1) des nombres entiers et x ∈ ℚ tel que x^n + a_(n - 1)x^(n - 1) + … + a_1x + a_0 = 0. Montrer que x ∈ ℤ, et que x divise…
• Exercice 22 Soient p et q deux éléments de ℕ^() avec p > q. On suppose que le quotient (p^2 + q^2)/(p^2 - q^2) est un entier. 1. Montrer que l'on peut se…
• Exercice 23 PGCD de nombres de Fibonacci. Soit (F_n)_(n ∈ ℕ) la suite de Fibonacci de l'exercice 12, définie par F_0 = 0, F_1 = 1 et ∀ n ∈ ℕ, F_(n + 2) = F_(n +…

Nombres premiers

• Exercice 24 Décomposer 2024, 2025 et 2026 en produits de nombres premiers. En déduire le nombre de diviseurs positifs de chacun de ces entiers, puis calculer…
• Exercice 25 Soit n ≥ 2 un entier qui n'admet aucun diviseur premier p tel que p^3 ≤ n. Montrer que n est premier ou produit de deux nombres premiers. En…
• Exercice 26 Soit p un nombre premier supérieur ou égal à 5. Montrer que p^2 - 1 est divisible par 24.
• Exercice 27 Soit n ∈ ℕ^(). 1. Montrer qu'il existe n entiers consécutifs dont aucun n'est premier. 2. Montrer qu'il existe un nombre premier compris entre n + 1…
• Exercice 28 Montrer que la somme de deux nombres premiers consécutifs n'est jamais le produit de deux nombres premiers.
• Exercice 29 Déterminer les nombres premiers dont l'écriture en base 10 comporte en alternance des 0 et des 1, comme 101 ou 10 101.
• Exercice 30 1. Montrer qu'il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4. On pourra raisonner par l'absurde et considérer 4p_1p_2 … p_r - 1. 2.…
• Exercice 31 1. Soit n ∈ ℕ^(). Montrer que √n est soit un entier, soit un irrationnel. 2. Montrer que (ln 2)/(ln 3) est irrationnel.
• Exercice 32 Soit a et b deux entiers naturels non nuls premiers entre eux, tels que ab soit un carré parfait. Montrer que a et b sont deux carrés parfaits. Le…
• Exercice 33 Soit n ∈ ℕ^(). On note tau (n) le nombre de diviseurs positifs de n, et Pi (n) leur produit. 1. Montrer que tau (n) est impair si et seulement si n…
• Exercice 34 Soit n ∈ ℕ. Calculer la valuation 2 -adique de 5^2^n - 1.
• Exercice 35 Formule de Legendre. Soient n ∈ ℕ^() et p un nombre premier. 1. Soit α ∈ ℕ. Combien y a-t-il d'entiers dans [ [1;n] ] multiples de p^α ? Combien y…

Congruences

• Exercice 36 Rappeler et démontrer les critères de divisibilité par 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 et 11. Les utiliser pour obtenir, à la main, la décomposition en…
• Exercice 37 1. Montrer que 13 divise 2^70 + 3^70. 2. Le nombre premier 2^(136 279 841) - 1, découvert en octobre 2024, est le plus grand nombre premier connu au…
• Exercice 38 Résoudre dans ℤ les congruences suivantes, d'inconnue x. begin array{lll} (i) 5x equiv 1 [7] & (iii) 23x equiv 0 [97] & (v) 4x equiv 8 [12] (ii) 3x…
• Exercice 39 Montrer que, pour tous entiers a et b, 17 divise 2a + 3b si et seulement si 17 divise 9a + 5b.
• Exercice 40 Résoudre dans ℤ^2 le système de congruences { begin array{l} 4x + y equiv 6 [12] x + 4y equiv 3 [12] end array.
• Exercice 41 Soit n ∈ ℕ^() et a, b ∈ ℤ tels que a equiv b [n]. Montrer que a^n equiv b^n [n^2].
• Exercice 42 Déterminer les entiers n ∈ ℕ tels que n 3^n equiv 1 [7].
• Exercice 43 1. Montrer qu'il existe une infinité d'entiers n > 0 tels que 4n^2 + 1 soit divisible à la fois par 5 et par 13. 2. Montrer que l'ensemble 2^n - 3…
• Exercice 44 À l'aide du petit théorème de Fermat, montrer que, pour tout n ∈ ℕ, n^5 - n equiv 0 [30] et n^7 - n equiv 0 [42].
• Exercice 45 Montrer, en raisonnant modulo 5, que l'équation 15x^2 - 7y^2 = 9, d'inconnue (x, y) ∈ ℤ^2, n'admet aucune solution.
• Exercice 46 1. Soit n ∈ ℕ. Déterminer à quelle condition « l'équation » x^3 equiv n [9] possède une solution dans ℤ. 2. Montrer que, pour tous a, b, c ∈ ℤ, a^3…
• Exercice 47 Le nombre 2^29 possède neuf chiffres, tous distincts. Quel est le chiffre manquant ? On ne demande pas de calculer 2^29.
• Exercice 48 Montrer que min |36^n - 5^m| bigm | n, m ∈ ℕ^() = 11.
• Exercice 49 On appelle repunit un nombre entier dont l'écriture en base 10 ne contient que des 1. Caractériser les nombres premiers qui divisent au moins un…
• Exercice 50 Théorème de Wilson. Soit n ≥ 2. Montrer que n est premier si et seulement si (n - 1)! equiv -1 [n]. On pourra, pour n premier, regrouper chaque…
• Exercice 51 Soit p un nombre premier impair. 1. On suppose que l'équation x^2 equiv -1 [p] possède une solution dans ℤ. Montrer que p equiv 1 [4]. 2. En déduire…

Exercices de synthèse

• Exercice 52 Vrai ou faux ? Justifier chaque réponse par une démonstration ou un contre-exemple. 1. Si a divise bc et ne divise pas b, alors a divise c. 2. Pour…
• Exercice 53 PGCD et PPCM dans le cercle unité. Soit n et m deux entiers naturels non nuls. On rappelle que 𝕌_n = z ∈ ℂ mid z^n = 1 est l'ensemble des racines n…
• Exercice 54 Nombres parfaits. Pour tout n ∈ ℕ^(), on note σ(n) la somme des diviseurs de n. On dit que n est parfait si σ(n) = 2n (c'est-à-dire si n est égal à…
• Exercice 55 Nombres de Fermat. 1. Soit m ∈ ℕ^() tel que 2^m + 1 soit premier. Montrer qu'il existe n ∈ ℕ tel que m = 2^n. 2. Pour n ∈ ℕ, on note F_n = 2^2^n +…
• Exercice 56 Nombres de Mersenne. Soit a, b, n ≥ 2 trois entiers. 1. Montrer que a^n - 1 est divisible par a - 1. 2. En déduire que si a^n - 1 est un nombre…
• Exercice 57 1. Soit p un nombre premier. (a) Prolonger la valuation p -adique en une fonction v_p: ℚ → ℤ ∪ +∞ vérifiant la propriété ∀ x, y ∈ ℚ, v_p(xy) =…
• Exercice 58 Triplets pythagoriciens. On veut résoudre l'équation x^2 + y^2 = z^2, d'inconnue (x, y, z) ∈ ℤ^3. De tels triplets sont appelés triplets…
• Exercice 59 Nombres premiers en progression arithmétique. Soit r ∈ ℕ^() et n ∈ ℕ^(). On appelle progression de nombres premiers de raison r et de longueur n…
• Exercice 60 Des ensembles emboîtés d'intersection vide. On note F = ℚ setminus -1, 0, 1 et f l'application définie sur ℚ^() par f(x) = x - 1/x. On pose f^(∘ 0)…
• Exercice 61 Les sous-anneaux de ℚ. On note P l'ensemble des nombres premiers. Pour toute partie E de P, on note A_E l'ensemble des rationnels qui peuvent…
• Exercice 62 Un nombre 6666…0000 formé de six-cent-soixante-six « 6 » et éventuellement de quelques zéros à la fin peut-il être un carré parfait ?
• Exercice 63 Résoudre dans (ℕ^())^2 l'équation x^y = y^x.
• Exercice 64 Soit n ≥ 2. Montrer que le produit de trois entiers > 0 consécutifs n'est jamais une puissance n -ième.
• Exercice 65 Déterminer tous les entiers n ∈ ℕ^() tels que 2^n divise 3^n - 1.
• Exercice 66 Soit n ∈ ℕ^(). Montrer que n est impair si et seulement si n divise Σ_(k = 1)^n k^n.
• Exercice 67 Soit a_0 ∈ ℕ^(). On définit la suite (a_n)_(n ∈ ℕ) par ∀ n ∈ ℕ, a_(n + 1) = begin cases √(a_n) & si √(a_n) ∈ ℕ^(), a_n + 3 & sinon. end cases…