Exercice 7

1. Existence, par récurrence forte sur $n$. Si $n < b$, l'écriture $n = c_{0}$ convient. Sinon, la division euclidienne donne $n = bq + c_{0}$ avec $0 \leqslant c_{0} < b$ et $1 \leqslant q < n$ ; l'hypothèse de récurrence écrit $q = \sum_{k = 0}^{m'} d_{k}b^{k}$, et l'on obtient $n = c_{0} + \sum_{k = 0}^{m'} d_{k}b^{k + 1}$.

Unicité, encore par récurrence forte. Si $n = \sum_{k = 0}^{m} c_{k}b^{k}$, alors $n = b \Big(\sum_{k = 1}^{m} c_{k}b^{k - 1}\Big) + c_{0}$ avec $0 \leqslant c_{0} < b$ : c'est la division euclidienne de $n$ par $b$. Par unicité du théorème 1, $c_{0}$ est le reste et $\sum_{k \geqslant 1} c_{k}b^{k - 1}$ le quotient, entier strictement plus petit que $n$ dont l'écriture est unique par hypothèse de récurrence (s'il est nul, $m = 0$).

2. On divise successivement par $7$ : $$2026 = 7 \times 289 + 3, \qquad 289 = 7 \times 41 + 2, \qquad 41 = 7 \times 5 + 6, \qquad 5 = 7 \times 0 + 5.$$ Les restes, lus de bas en haut, donnent les chiffres. $$\boxed{2026 = \overline{5623}^{\,7} = 5 \times 7^{3} + 6 \times 7^{2} + 2 \times 7 + 3}$$ Vérification : $1715 + 294 + 14 + 3 = 2026$. ✓

3. Comme $b \equiv 1 \;[b - 1]$, on a $b^{k} \equiv 1 \;[b - 1]$ pour tout $k$ (chapitre 2, proposition 10), donc $n = \sum c_{k}b^{k} \equiv \sum c_{k} \;[b - 1]$. $$\boxed{b - 1 \mid n - (c_{0} + c_{1} + \cdots + c_{m})}$$ Pour $b = 10$, on retrouve le critère de divisibilité par $9$, et donc par $3$ : un entier et la somme de ses chiffres ont le même reste modulo $9$, comme l'exemple de la section 12.6 du cours l'a montré.