Théorème 3Les entiers relatifs

Division euclidienne

Énoncé

Pour tous $a \in {\mathbb Z}$ et $b \in {\mathbb N} \setminus \{0\}$ , il existe un unique couple $(q, r) \in \mathbb Z \times \mathbb N$ tel que $a = bq + r \quad \text{et} \quad 0 \leqslant r < b.$ C'est la division euclidienne de $a$ par $b$ ; $q$ est le quotient et $r$ le reste.

Pour $a, b \in \mathbb Z$ , on dit que $a$ divise $b$ , et l'on note $a \mid b$ , s'il existe $c \in \mathbb Z$ tel que $b = ac$ . Pour $b \geqslant 1$ , $b$ divise $a$ si et seulement si le reste de la division de $a$ par $b$ est nul.

Démonstration

Existence. L'ensemble $R = \{a - bq : q \in \mathbb Z\} \cap \mathbb N$ est non vide : pour $q = -|a|$ , on a $a + b|a| \geqslant a + |a| \geqslant 0$ , puisque $b \geqslant 1$ . Soit $r$ son plus petit élément (Bon ordre sur ℕ), $r = a - bq$ .

Si l'on avait $r \geqslant b$ , alors $r - b = a - b(q + 1)$ appartiendrait à $R$ et serait plus petit que $r$ . Donc $r < b$ .

Unicité. Si $bq + r = bq' + r'$ avec $0 \leqslant r, r' < b$ , alors $b\,|q - q'| = |r' - r| < b$ (Ordre de ℤ). Un entier naturel $|q - q'|$ tel que $b\,|q - q'| < b$ est nul, donc $q = q'$ , puis $r = r'$ .

Divisibilité. Si $r = 0$ , alors $a = bq$ . Réciproquement, si $a = bc$ , le couple $(c, 0)$ convient, et l'unicité donne $r = 0$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue concerne les dividendes négatifs : la division de $-7$ par $3$ donne $q = -3$ et $r = 2$ , car $-7 = 3 \cdot (-3) + 2$ , et non $q = -2$ , $r = -1$ , puisque le reste doit être positif.

Les multiples de

3

sont en bleu. Le bon quotient est

q = -3

: on part de

3 \cdot (-3) = -9

, en dessous de

-7

, et l'on avance de

r = 2

. Partir de

-6

, au-dessus de

-7

, donnerait

r = -1

, refusé puisque le reste doit vérifier

0 \leqslant r < 3

Repose sur

L'ordre de ℤ

Sert à

Les idéaux de ℤ sont principaux