Les idéaux de ℤ sont principaux

Soit $H$ un sous-groupe. Si $H = \{0\}$, alors $H = 0\mathbb Z$. Sinon, $H$ contient un élément non nul et son opposé, donc un élément de $\mathbb N \setminus \{0\}$ ; soit $n$ le plus petit d'entre eux. Comme $H$ est un sous-groupe contenant $n$, il contient $n\mathbb Z$ : pour $k \in \mathbb N$, $nk$ s'obtient par récurrence sur $k$ comme somme, et $n(-k) = -(nk)$.

Réciproquement, soit $a \in H$ et $a = nq + r$ sa division euclidienne par $n$. Alors $r = a - nq \in H$ et $0 \leqslant r < n$ ; par minimalité de $n$, $r = 0$, donc $a \in n\mathbb Z$.

Soit $n\mathbb Z = n'\mathbb Z$ avec $n, n' \in \mathbb N$. Si l'un est nul, l'idéal est $\{0\}$ et l'autre l'est aussi, puisque $n \in n\mathbb Z$ et $n' \in n'\mathbb Z$. Sinon chacun divise l'autre ; or si $d, d' \in \mathbb N$ sont non nuls et $d' = dc$, alors $c > 0$, sans quoi on aurait $dc \leqslant 0$ ; donc $c \geqslant 1$ et $d' = dc \geqslant d$ (Ordre de ℤ). D'où $n \leqslant n'$ et $n' \leqslant n$, puis $n = n'$. Un idéal est en particulier un sous-groupe additif.