Proposition 7Structures algébriques

Idéaux d'un anneau commutatif

Dans ce nœud et les suivants, les anneaux sont commutatifs. Un idéal de $A$ est un sous-groupe additif $I$ tel que $ax \in I$ pour tous $a \in A$ et $x \in I$ .

Énoncé

(i) Le noyau d'un morphisme d'anneaux est un idéal.

(ii) L'intersection d'un ensemble non vide d'idéaux est un idéal. Pour $S \subset A$ , l'intersection des idéaux contenant $S$ est le plus petit idéal contenant $S$ . Pour $x \in A$ , le plus petit idéal contenant $x$ est $xA = \{xa : a \in A\}$ , l'idéal principal engendré par $x$ .

(iii) La somme $I + J = \{i + j : i \in I,\ j \in J\}$ de deux idéaux est un idéal.

(iv) Un idéal est égal à $A$ si et seulement s'il contient un élément inversible.

Démonstration

(i) Un morphisme d'anneaux est un morphisme de groupes additifs (Morphismes d'anneaux) ; son noyau est donc un sous-groupe additif (Morphisme), et si $f(x) = 0$ , alors $f(ax) = f(a) \cdot 0 = 0$ .

(ii) La stabilité par les opérations passe à l'intersection comme pour les sous-groupes (Sous-groupe, (ii)). L'ensemble des idéaux contenant $S$ , obtenu par séparation dans ${\mathcal P}(A)$ , est non vide, puisqu'il contient $A$ ; son intersection est donc un idéal, qui contient $S$ et est contenu dans tout idéal qui contient $S$ .

L'ensemble $xA$ est un sous-groupe, puisque $xa - xb = x(a - b)$ , il est stable par multiplication, puisque $b(xa) = x(ba)$ , il contient $x = x1$ , et tout idéal contenant $x$ contient les $xa$ .

(iii) $I + J$ contient $0 = 0 + 0$ ; $(i + j) - (i' + j') = (i - i') + (j - j')$ par commutativité de $+$ ; et $a(i + j) = ai + aj$ .

(iv) Si $u \in I$ est inversible, alors $1 = u^{-1}u \in I$ , puis $a = a1 \in I$ pour tout $a$ . Réciproquement, $A$ contient l'inversible $1$ .

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Remarque

Un idéal est au produit ce qu'un sous-groupe distingué est à un groupe : la condition qui permettra de passer au quotient. Un sous-anneau, qui contient $1$ , n'est jamais un idéal propre, d'après (iv).

Repose sur

Morphismes d'anneaux, sous-anneaux

Sert à

Corps Anneau quotient et théorème d'isomorphisme