Proposition 3Structures algébriques

Sous-groupes

Un sous-groupe d'un groupe $G$ est une partie $H$ qui contient $e$ et qui est stable par produit et par passage au symétrique. Muni de la loi induite, c'est un groupe.

Énoncé

(i) Une partie $H \subset G$ est un sous-groupe si et seulement si elle est non vide et si $xy^{-1} \in H$ pour tous $x, y \in H$ .

(ii) L'intersection d'un ensemble non vide de sous-groupes de $G$ est un sous-groupe de $G$ .

(iii) Pour toute partie $S \subset G$ , il existe un plus petit sous-groupe contenant $S$ , le sous-groupe engendré $\langle S \rangle$ : c'est l'intersection de tous les sous-groupes de $G$ qui contiennent $S$ .

Démonstration

(i) Un sous-groupe vérifie ces conditions. Réciproquement, soit $x \in H$ ; alors $e = xx^{-1} \in H$ . Pour $y \in H$ , $y^{-1} = ey^{-1} \in H$ . Pour $x, y \in H$ , on a donc $y^{-1} \in H$ et $xy = x(y^{-1})^{-1} \in H$ .

(ii) Soit $\mathcal H$ cet ensemble et $K = \bigcap \mathcal H$ . Chaque élément de $\mathcal H$ contient $e$ , donc $K$ aussi. Si $x, y \in K$ , alors $xy^{-1}$ appartient à chaque élément de $\mathcal H$ , donc à $K$ . On conclut par (i).

(iii) L'ensemble des sous-groupes contenant $S$ existe par séparation dans ${\mathcal P}(G)$ , et il est non vide puisqu'il contient $G$ . Son intersection est un sous-groupe par (ii), contient $S$ , et est contenue dans tout sous-groupe contenant $S$ .

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Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que la réunion de deux sous-groupes en est un. Dans $\mathfrak S(E)$ , avec $a$ , $b$ , $c$ distincts, $\{\mathrm{id}, \tau_{ab}\}$ et $\{\mathrm{id}, \tau_{bc}\}$ sont des sous-groupes, mais leur réunion ne contient pas $\tau_{ab} \circ \tau_{bc}$ , qui envoie $c$ sur $a$ et ne coïncide donc ni avec l'identité, ni avec $\tau_{ab}$ , ni avec $\tau_{bc}$ .

Remarque

La définition de $\langle S \rangle$ « par le haut », comme intersection, ne demande aucun entier. La description « par le bas », comme ensemble des produits d'un nombre quelconque d'éléments de $S$ et de leurs symétriques, n'est accessible qu'après $\mathbb N$ .

Repose sur

Groupes

Sert à

Morphismes de groupes Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués