Théorie

Les entiers naturels

${\mathbb N} = \omega$ est le plus petit ensemble inductif ; son existence est garantie par l'axiome de l'infini. Muni de $0 = \varnothing$ et du successeur $S(n) = n \cup \{n\}$, il vérifie les axiomes de Peano, qui deviennent ici des théorèmes.

Chaque entier est l'ensemble des entiers qui le précèdent : $3 = \{0, 1, 2\}$. L'addition et la multiplication se définissent par récurrence sur le second argument.

Une fois $\mathbb N$ construit, une suite d'éléments d'un ensemble $E$ est une application de $\mathbb N$ dans $E$, et un ensemble est dénombrable s'il est équipotent à $\mathbb N$. Le choix dénombrable est l'axiome du choix restreint aux familles indexées par $\mathbb N$. Le choix dépendant permet de construire une suite dont chaque terme est choisi en fonction du précédent : si une relation $R$ sur un ensemble non vide $E$ est telle que tout $x \in E$ admette un $y$ avec $x \mathrel R y$, il existe une suite $(x_n)$ telle que $x_n \mathrel R x_{n+1}$ pour tout $n$. Il entraîne le choix dénombrable, et aucun des deux n'est démontrable dans $\mathsf{ZF}$.