Théorème 7Les entiers naturels

Sommes, produits et puissances

Soit $G$ un ensemble muni d'une loi notée $+$ , associative et commutative, c'est-à-dire telle que $(x + y) + z = x + (y + z)$ et $x + y = y + x$ pour tous $x, y, z \in G$ , et d'un élément $0$ tel que $0 + x = x$ pour tout $x$ . Pour un ensemble fini $I$ et une famille $(x_i)_{i \in I}$ d'éléments de $G$ , on définit ci-dessous la somme $\sum_{i \in I} x_i$ . En notation multiplicative, on obtient de même le produit $\prod_{i \in I} x_i$ .

Soit $M$ un ensemble muni d'une loi notée multiplicativement, associative, c'est-à-dire telle que $(xy)z = x(yz)$ pour tous $x, y, z \in M$ , et d'un élément $1$ tel que $1x = x1 = x$ pour tout $x \in M$ . Pour $x \in M$ , la puissance $x^n$ , $n \in {\mathbb N}$ , est définie par récurrence (Définition par récurrence) : $x^0 = 1 \quad \text{et} \quad x^{n+1} = x^n x.$ Ainsi $x^1 = x$ et $x^2 = xx$ . Dans $(\mathbb N, \cdot)$ , cela définit les puissances $m^n$ des entiers naturels.

En notation additive, l'élément $1$ étant noté $0$ , la puissance se note $n \cdot x$ , ou $nx$ , et s'appelle le multiple de $x$ : $0 \cdot x = 0$ et $(n + 1) \cdot x = n \cdot x + x$ . Dans $(\mathbb N, +)$ , le multiple $n \cdot m$ est le produit $nm$ , qui vérifie les mêmes relations (Propriétés des opérations).

La factorielle se définit aussi par récurrence (Définition par récurrence). Soit $u$ la suite de $\mathbb N \times \mathbb N$ définie par $u_0 = (0, 1)$ et $u_{k+1} = g(u_k)$ , où $g(a, b) = (a + 1, (a + 1)b)$ . Une récurrence montre que la première composante de $u_k$ est $k$ ; on note $k!$ la seconde. Alors $0! = 1$ et $(k + 1)! = (k + 1)\,k!$ . Ainsi $3! = 6$ et $5! = 120$ .

Pour un ensemble $A$ et un entier $n \geqslant 1$ , on note $A^n$ l'ensemble des familles $(a_1, \dots, a_n)$ d'éléments de $A$ indexées par $\{1, \dots, n\}$ : ce sont les $n$ -uplets d'éléments de $A$ , et $a_i$ est la $i$ -ième coordonnée.

On identifie $A^1$ à $A$ , et $A^2$ au produit cartésien $A \times A$ en associant à la famille $(a_1, a_2)$ le couple $(a_1, a_2)$ . Les sommes de coordonnées, comme $a_1 + \cdots + a_n = \sum_{i \in \{1, \dots, n\}} a_i$ , relèvent de ce qui suit.

Énoncé

(i) Il existe une unique application $\sigma : {\mathcal P}(I) \to G$ telle que $\sigma(\varnothing) = 0$ et $\sigma(A \cup \{i\}) = \sigma(A) + x_i$ pour $A \subset I$ et $i \in I \setminus A$ . On note $\sum_{i \in A} x_i = \sigma(A)$ : cette somme ne dépend d'aucun ordre sur $I$ , ni de l'ensemble $I \supset A$ dans lequel on la calcule.

(ii) $\sum_{i \in I} (x_i + y_i) = \sum_{i \in I} x_i + \sum_{i \in I} y_i$ .

(iii) Associativité généralisée. Si $I$ est la réunion disjointe de parties $I_1, \dots, I_m$ , alors $\sum_{i \in I} x_i = \sum_{k} \sum_{i \in I_k} x_i$ . Si $\beta : J \to I$ est une bijection, $\sum_{j \in J} x_{\beta(j)} = \sum_{i \in I} x_i$ .

(iv) Morphismes. Soit $G'$ muni d'une loi $+$ associative et commutative et d'un élément $0$ tel que $0 + x = x$ , et $\varphi : G \to G'$ telle que $\varphi(0) = 0$ et $\varphi(x + y) = \varphi(x) + \varphi(y)$ . Alors $\varphi\Big(\sum_{i \in I} x_i\Big) = \sum_{i \in I} \varphi(x_i).$

(v) Distributivité. Supposons $G$ muni d'une seconde loi, notée multiplicativement, telle que $c(x + y) = cx + cy$ , $(x + y)c = xc + yc$ et $c0 = 0c = 0$ pour tous $c, x, y \in G$ . Alors $\begin{aligned} c \sum_{i \in I} x_i &= \sum_{i \in I} c\,x_i, \\ \Big(\sum_{i \in I} x_i\Big) c &= \sum_{i \in I} x_i\,c, \end{aligned}$ et, pour une seconde famille finie $(y_j)_{j \in J}$ , $\big(\sum_{i \in I} x_i\big)\big(\sum_{j \in J} y_j\big) = \sum_{i \in I} \sum_{j \in J} x_i\,y_j$ .

(vi) Puissances. Dans $M$ , pour tous $x, y \in M$ et $m, n \in \mathbb N$ , $x^{m+n} = x^m x^n \quad \text{et} \quad (x^m)^n = x^{mn},$ et, si $xy = yx$ , $(xy)^n = x^n y^n$ . En notation additive, ces règles s'écrivent $(m + n) \cdot x = m \cdot x + n \cdot x$ , $n \cdot (m \cdot x) = (mn) \cdot x$ et, la loi étant commutative, $n \cdot (x + y) = n \cdot x + n \cdot y$ .

Démonstration

(i) Unicité. Si $\sigma$ et $\sigma'$ conviennent, $\sigma(A) = \sigma'(A)$ par récurrence sur le nombre d'éléments de $A$ (Ensembles finis) : c'est vrai pour $\varnothing$ , et une partie à $k + 1$ éléments s'écrit $A \cup \{i\}$ avec $A$ à $k$ éléments.

Existence. Par récurrence sur le nombre d'éléments de $I$ . Pour $I = \varnothing$ , $\sigma(\varnothing) = 0$ . Si $I = J \cup \{j\}$ avec $j \notin J$ , et si $\sigma_J$ convient pour $J$ , on pose $\sigma(A) = \sigma_J(A)$ si $j \notin A$ et $\sigma(A) = \sigma_J(A \setminus \{j\}) + x_j$ si $j \in A$ .

Vérifions $\sigma(A \cup \{i\}) = \sigma(A) + x_i$ pour $i \notin A$ . Si $i = j$ , c'est la définition. Si $i \neq j$ et $j \notin A$ , c'est la propriété de $\sigma_J$ . Si $i \neq j$ et $j \in A$ , alors $\begin{aligned} \sigma(A \cup \{i\}) &= \sigma_J\big((A \setminus \{j\}) \cup \{i\}\big) \\ &\quad + x_j \\ &= \sigma_J(A \setminus \{j\}) + x_i + x_j \\ &= \sigma(A) + x_i, \end{aligned}$ par associativité et commutativité. C'est cette commutativité qui rend la somme indépendante de tout ordre.

Pour $A \subset I$ , la restriction de $\sigma$ à $\mathcal P(A)$ vérifie la relation qui caractérise la somme sur $A$ : par unicité, $\sum_{i \in B} x_i$ , pour $B \subset A$ , ne dépend donc pas de l'ensemble dans lequel on la calcule.

(ii) L'application $A \mapsto \sum_A x_i + \sum_A y_i$ vérifie la relation qui caractérise $A \mapsto \sum_A (x_i + y_i)$ ; par unicité, elles sont égales.

(iii) Pour $m = 2$ , l'application $A \mapsto \sum_{A \cap I_1} x_i + \sum_{A \cap I_2} x_i$ vérifie la relation caractéristique de $A \mapsto \sum_A x_i$ ; on conclut par unicité, puis par récurrence sur $m$ . Pour une bijection, $B \mapsto \sum_{\beta^{-1}(B)} x_{\beta(j)}$ vérifie la relation caractéristique sur $\mathcal P(I)$ .

(iv) L'application $A \mapsto \varphi\big(\sum_{i \in A} x_i\big)$ vaut $\varphi(0) = 0$ en $\varnothing$ et, pour $i \notin A$ , $\begin{aligned} \varphi\Big(\sum_{A \cup \{i\}} x_k\Big) &= \varphi\Big(\sum_{A} x_k + x_i\Big) \\ &= \varphi\Big(\sum_{A} x_k\Big) + \varphi(x_i). \end{aligned}$ Elle vérifie donc la relation qui caractérise $A \mapsto \sum_{i \in A} \varphi(x_i)$ , et lui est égale par l'unicité de (i).

(v) L'application $x \mapsto cx$ de $G$ dans $G$ envoie $0$ sur $0$ et est additive : (iv) donne la première égalité, et $x \mapsto xc$ la deuxième. Pour la dernière, on applique la deuxième avec $c = \sum_j y_j$ , puis la première à chaque terme $x_i \sum_j y_j$ .

(vi) Par récurrence sur $n$ , à partir des égalités qui définissent l'addition et la multiplication de $\mathbb N$ (Addition, multiplication). Pour $n = 0$ , $x^{m+0} = x^m = x^m \cdot 1 = x^m x^0$ ; puis, par associativité, $\begin{aligned} x^{m+(n+1)} &= x^{(m+n)+1} = x^{m+n}\,x \\ &= (x^m x^n)\,x = x^m x^{n+1}. \end{aligned}$

Pour la deuxième règle, $(x^m)^0 = 1 = x^{m \cdot 0}$ , et, par la première, $\begin{aligned} (x^m)^{n+1} &= (x^m)^n\,x^m = x^{mn}\,x^m \\ &= x^{mn + m} = x^{m(n+1)}. \end{aligned}$

Si $xy = yx$ , alors $y^n x = x y^n$ par récurrence sur $n$ , puisque $y^{n+1}x = y^n\,yx = y^n x\,y = x\,y^{n+1}$ . D'où, encore par récurrence, $\begin{aligned} (xy)^{n+1} &= (xy)^n\,xy = x^n y^n\,x\,y \\ &= x^n x\,y^n y = x^{n+1} y^{n+1}. \end{aligned}$

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Remarque

Cette construction est la seule que l'atlas fasse des sommes finies ; elle sert dans les anneaux, les espaces vectoriels (Combinaisons linéaires), les sommes de réels positifs de la théorie de la mesure et partout ailleurs. L'erreur la plus répandue est de croire que $\sum_{i=1}^n$ suffit : une somme indexée par un ensemble fini sans ordre privilégié, comme une partie de ${\mathbb Z^2}$ , demande l'indépendance vis-à-vis de l'ordre, qui repose sur la commutativité.

Remarque

Le point (v) est la distributivité étendue aux sommes finies : c'est lui qui permet de développer un produit de sommes, comme dans l'associativité du produit des polynômes (Anneau A[X]) ou dans la formule du binôme (Binôme de Newton).

Remarque

La règle $(xy)^n = x^n y^n$ demande que $x$ et $y$ commutent, et l'on se trompe souvent en l'appliquant sans le vérifier. Pour les applications de $\{0, 1\}$ dans lui-même, munies de la composition (Composition), soit $s$ l'échange de $0$ et $1$ , et $c$ l'application constante égale à $0$ . Alors $s \circ c$ est constante égale à $1$ , et $(s \circ c)^2 = s \circ c$ aussi, alors que $s^2 \circ c^2 = \mathrm{id} \circ c = c$ est constante égale à $0$ .

Repose sur

Ensembles finis et principe des tiroirs

Sert à

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