Théorème 1Anneaux de polynômes

L'anneau A[X], degré et intégrité

Dans tout ce chapitre, $A$ est un anneau commutatif. L'anneau des polynômes ${A[X]}$ est l'ensemble des suites $(a_k)_{k \in {\mathbb N}}$ d'éléments de $A$ dont tous les termes sont nuls sauf un nombre fini, muni de l'addition terme à terme et du produit $(a_k)(b_k) = (c_k), \qquad c_k = \sum_{i + j = k} a_i b_j.$ On note $X$ la suite dont seul le terme d'indice $1$ vaut $1$ .

Le degré d'un polynôme non nul $P = (a_k)$ est le plus grand $k$ tel que $a_k \neq 0$ ; ce coefficient $a_{\deg P}$ est le coefficient dominant de $P$ , et $P$ est unitaire s'il vaut $1$ . Par convention, le polynôme nul a pour degré $-\infty$ , plus petit que tout entier, avec $-\infty + d = -\infty$ . Un polynôme est constant s'il est nul ou de degré $0$ .

Pour $n \in \mathbb N$ et $a \in A$ , le multiple $n \cdot a$ , ou $na$ , et la puissance $a^n$ sont ceux du nœud Sommes finies, pour l'addition et pour la multiplication de $A$ : $0 \cdot a = 0$ , $(n + 1) \cdot a = n \cdot a + a$ , $a^0 = 1$ et $a^{n+1} = a^n a$ . Ils vérifient $(n + m) \cdot a = n \cdot a + m \cdot a$ , $(nm) \cdot a = n \cdot (m \cdot a)$ , $a^{m+n} = a^m a^n$ , $(a^m)^n = a^{mn}$ et $(ab)^n = a^n b^n$ (Sommes finies, (vi)).

De plus, $n \cdot (ab) = (n \cdot a)\,b$ par récurrence sur $n$ , puisque $(n \cdot a + a)\,b = (n \cdot a)\,b + ab$ ; en particulier $n \cdot a = (n \cdot 1)\,a$ .

Énoncé

(i) $A[X]$ est un anneau commutatif. L'application $a \mapsto (a, 0, 0, \dots)$ est un morphisme d'anneaux injectif, par lequel on identifie $A$ aux polynômes constants. Pour $k \in \mathbb N$ , $X^k$ est la suite dont seul le terme d'indice $k$ vaut $1$ , et tout polynôme s'écrit de manière unique $\sum_k a_k X^k$ .

(ii) Pour $P, Q \in A[X]$ , $\deg(P + Q) \leqslant \max(\deg P, \deg Q)$ et $\deg(PQ) \leqslant \deg P + \deg Q$ . Si $P$ et $Q$ sont non nuls, le coefficient d'indice $\deg P + \deg Q$ de $PQ$ est le produit de leurs coefficients dominants ; il y a donc égalité dès que ce produit est non nul, en particulier dès que l'un des deux coefficients dominants est inversible, par exemple si $P$ ou $Q$ est unitaire.

(iii) Si $A$ est intègre, $\deg(PQ) = \deg P + \deg Q$ pour tous $P, Q$ , l'anneau $A[X]$ est intègre, et ses éléments inversibles sont les constantes inversibles : $A[X]^\times = A^\times$ .

Démonstration

(i) Le produit est bien défini, la somme $\sum_{i + j = k}$ portant sur un ensemble fini (Sommes finies), et $c_k = 0$ dès que $k$ dépasse la somme des rangs à partir desquels les deux suites sont nulles. La commutativité et la distributivité se lisent sur la formule.

Pour l'associativité, les coefficients d'indice $k$ de $(PQ)R$ et de $P(QR)$ valent tous deux $\sum_{i + j + l = k} a_i b_j c_l,$ par la distributivité étendue aux sommes finies et l'associativité généralisée (Sommes finies, (v) et (iii)). Interviennent l'associativité et la commutativité de l'addition de $A$ , l'associativité de sa multiplication et la distributivité.

Le neutre est la suite $(1, 0, 0, \dots)$ . Les constantes s'additionnent et se multiplient comme dans $A$ , puisque $(a, 0, \dots)(b, 0, \dots) = (ab, 0, \dots)$ .

Par récurrence sur $k$ , la puissance $X^k$ (Sommes finies) est la suite dont seul le terme d'indice $k$ vaut $1$ , puisque le produit d'une telle suite par $X$ décale ses termes d'un rang, et $a X^k$ celle dont seul ce terme vaut $a$ ; la suite $(a_k)$ est donc la somme finie $\sum_k a_k X^k$ , et ses termes se lisent sur cette écriture, d'où l'unicité.

(ii) La première inégalité est claire. Soient $P = (a_k)$ et $Q = (b_k)$ , non nuls, de degrés $p$ et $q$ . Si $i + j > p + q$ , alors $i > p$ ou $j > q$ , et $a_ib_j = 0$ : les coefficients de $PQ$ d'indice supérieur à $p + q$ sont nuls. Pour $i + j = p + q$ , le seul terme qui puisse être non nul est $a_pb_q$ , et c'est le coefficient d'indice $p + q$ .

Pour

\deg P = 3

\deg Q = 2

, la case

(i, j)

porte le produit

a_ib_j

, et le coefficient

c_k

PQ

est la somme des cases de l'antidiagonale

i + j = k

. Les cases grises, au-delà des degrés, sont nulles ; l'antidiagonale

i + j = 5

ne rencontre qu'une case non nulle, celle des deux coefficients dominants, en rouge, et les suivantes n'en rencontrent aucune.

Si $a_p$ est inversible et si $a_pb_q = 0$ , alors $b_q = a_p^{-1}(a_pb_q) = 0$ , ce qui est exclu : le produit des coefficients dominants est alors non nul. Les cas où $P$ ou $Q$ est nul découlent de la convention $\deg 0 = -\infty$ .

(iii) Dans un anneau intègre, le produit $a_pb_q$ de deux éléments non nuls est non nul, d'où l'égalité des degrés par (ii). En particulier $PQ \neq 0$ si $P \neq 0$ et $Q \neq 0$ , et $1 \neq 0$ dans $A[X]$ puisque $1 \neq 0$ dans $A$ : l'anneau $A[X]$ est intègre. Si $PQ = 1$ , alors $\deg P + \deg Q = 0$ , donc $P$ et $Q$ sont des constantes $a$ et $b$ avec $ab = 1$ .

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Remarque

Dans ${\mathbb Z}[X]$ , qui est intègre comme $\mathbb Z$ (Anneau ℤ), on a $(X + 1)(X^2 - X + 1) = X^3 + 1$ : les degrés s'ajoutent, comme le veut (iii).

L'écriture $\sum_k a_kX^k$ n'est pas une convention d'écriture mais un théorème, le point (i) ; l'indéterminée $X$ est un polynôme précis, et non un élément inconnu de $A$ .

Remarque

L'intégrité ne peut pas être omise dans (iii). Dans $({\mathbb Z/4\mathbb Z})[X]$ , on a $\begin{aligned} (\overline 2X + \overline 1)^2 &= \overline 4X^2 + \overline 4X + \overline 1 \\ &= \overline 1 : \end{aligned}$ le carré d'un polynôme de degré $1$ est de degré $0$ , et $\overline 2X + \overline 1$ est un polynôme inversible qui n'est pas constant.

L'erreur la plus répandue est d'appliquer la formule des degrés sans vérifier que le produit des coefficients dominants est non nul.

Repose sur

C'est un point de départ.

Sert à

Propriété universelle et évaluation Division euclidienne des polynômes Binôme de Newton et coefficients binomiaux