Définition 2Structures algébriques

Morphismes d'anneaux, sous-anneaux

Énoncé

Un morphisme d'anneaux est une application $f : A \to A'$ telle que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ , $f(xy) = f(x)f(y)$ et $f(1) = 1$ . C'est en particulier un morphisme de groupes additifs, donc $f(0) = 0$ et $f(-x) = -f(x)$ (Morphisme, (i)).

Un sous-anneau de $A$ est un sous-groupe additif qui contient $1$ et qui est stable par produit.

Remarque

La condition $f(1) = 1$ ne découle pas des deux autres. L'application nulle d'un anneau $A$ dans lui-même respecte la somme et le produit, mais envoie $1$ sur $0$ ; elle n'est donc pas un morphisme d'anneaux si $A$ est non nul.

Remarque

Comme pour les groupes, la composée de deux morphismes d'anneaux en est un, et la réciproque d'un morphisme bijectif aussi : la preuve du nœud Morphisme s'applique à chacune des deux lois.

Repose sur

Anneaux Morphismes de groupes

Sert à

Idéaux d'un anneau commutatif