Proposition 6Structures algébriques

Anneaux

Un anneau est un ensemble $A$ muni de deux lois, $+$ et $\times$ , telles que $(A, +)$ soit un groupe abélien de neutre $0$ , que $\times$ soit associative et possède un neutre $1$ , et que $\times$ soit distributive sur $+$ des deux côtés : $x(y + z) = xy + xz$ et $(y + z)x = yx + zx$ . L'anneau est commutatif si $\times$ l'est.

Un anneau commutatif est intègre si $1 \neq 0$ et si $xy = 0$ entraîne $x = 0$ ou $y = 0$ .

Énoncé

Dans un anneau $A$ , pour tous $x, y$ :

(i) $0x = x0 = 0$ ;

(ii) $(-x)y = x(-y) = -(xy)$ et $(-x)(-y) = xy$ ;

(iii) $1 = 0$ si et seulement si $A = \{0\}$ ;

(iv) les éléments inversibles pour $\times$ forment un groupe, noté $A^\times$ .

De plus :

(v) pour tout ensemble $E$ , l'ensemble ${\mathcal P}(E)$ , muni de la différence symétrique $X \mathbin{\triangle} Y = (X \setminus Y) \cup (Y \setminus X)$ comme addition et de l'intersection comme multiplication, est un anneau commutatif, de zéro $\varnothing$ et d'unité $E$ , dans lequel $-X = X$ et $X \cap X = X$ pour toute partie $X$ .

Démonstration

(i) $0x = (0 + 0)x = 0x + 0x$ , et l'on simplifie par $0x$ dans le groupe $(A, +)$ . De même à droite.

(ii) $(-x)y + xy = (-x + x)y = 0y = 0$ , donc $(-x)y = -(xy)$ ; de même $x(-y) = -(xy)$ . Puis $\begin{aligned} (-x)(-y) &= -(x(-y)) \\ &= -(-(xy)) = xy. \end{aligned}$

(iii) Si $1 = 0$ , alors $x = 1x = 0x = 0$ pour tout $x$ . Réciproquement, si $A = \{0\}$ , alors $1 = 0$ , puisque $1 \in A$ .

(iv) C'est le point (i) du nœud Groupe, appliqué au monoïde $(A, \times)$ .

(v) Toutes les égalités à établir sont des égalités de parties de $E$ ; on les prouve en vérifiant qu'un point $p \in E$ appartient au membre de gauche si et seulement s'il appartient au membre de droite. Par définition, $p \in X \mathbin{\triangle} Y$ si et seulement si $p$ appartient à une et une seule des deux parties $X$ et $Y$ , et $p \in X \cap Y$ si et seulement s'il appartient aux deux.

Le groupe additif. La loi $\triangle$ est commutative, puisque sa définition est symétrique en $X$ et $Y$ . Elle est associative : $p$ appartient à $(X \mathbin{\triangle} Y) \mathbin{\triangle} Z$ si et seulement s'il appartient à $Z$ sans appartenir à $X \mathbin{\triangle} Y$ , ou à $X \mathbin{\triangle} Y$ sans appartenir à $Z$ , c'est-à-dire s'il appartient aux trois parties, ou à une seule d'entre elles ; cette condition est symétrique en $X$ , $Y$ , $Z$ , et l'on obtient donc la même pour $X \mathbin{\triangle} (Y \mathbin{\triangle} Z) = (Y \mathbin{\triangle} Z) \mathbin{\triangle} X$ . Le neutre est $\varnothing$ , puisque $X \mathbin{\triangle} \varnothing = X$ , et chaque partie est son propre opposé, puisque $X \mathbin{\triangle} X = \varnothing$ .

La multiplication. L'intersection est associative et commutative, d'unité $E$ , puisque $X \cap E = X$ pour toute partie $X$ de $E$ ; on a aussi $X \cap X = X$ .

La distributivité. Un point $p$ appartient à $X \cap (Y \mathbin{\triangle} Z)$ si et seulement s'il appartient à $X$ et à une et une seule des parties $Y$ et $Z$ . Il appartient à $(X \cap Y) \mathbin{\triangle} (X \cap Z)$ si et seulement s'il appartient à une et une seule des parties $X \cap Y$ et $X \cap Z$ ; comme toutes deux sont contenues dans $X$ , cela revient encore à appartenir à $X$ et à une et une seule des parties $Y$ et $Z$ . Donc $X \cap (Y \mathbin{\triangle} Z) = (X \cap Y) \mathbin{\triangle} (X \cap Z),$ et la distributivité à droite s'en déduit par commutativité de l'intersection.

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Remarque

L'anneau du point (v) est l'exemple le plus simple dont on dispose avant la construction des entiers. Il montre déjà qu'un produit de deux éléments non nuls peut être nul : si $a \neq b$ sont deux points de $E$ , alors $\{a\} \cap \{b\} = \varnothing$ , et cet anneau n'est donc pas intègre. Pour $E = \{a\}$ , au contraire, $\mathcal P(E) = \{\varnothing, E\}$ n'a que deux éléments, son zéro et son unité, qui sont distincts par le point (iii).

Remarque

Pour un groupe abélien $(G, +)$ , notons $\operatorname{End}(G)$ l'ensemble des applications $f : G \to G$ telles que $f(x + y) = f(x) + f(y)$ pour tous $x, y$ , que le nœud Morphisme appellera les morphismes de $G$ dans lui-même. Muni de l'addition point par point, $(f + g)(x) = f(x) + g(x)$ , et de la composition, c'est un anneau. La somme $f + g$ est encore additive parce que $G$ est abélien, puisque $f(x) + f(y) + g(x) + g(y) = (f(x) + g(x)) + (f(y) + g(y))$ ; il en va de même de $-f$ , et les axiomes du groupe abélien $(\operatorname{End}(G), +)$ , de neutre l'application nulle, se lisent point par point dans $G$ . La composée de deux applications additives est additive, la composition est associative, de neutre $\mathrm{id}_G$ . Enfin $(g + h) \circ f = g \circ f + h \circ f$ par définition de la somme, et $f \circ (g + h) = f \circ g + f \circ h$ parce que $f$ est additive.

Cet anneau n'est pas commutatif en général : c'est le modèle des anneaux non commutatifs, comme $\mathfrak S(E)$ est celui des groupes. Pour $E = \{a, b\}$ , avec $a \neq b$ , et le groupe $(\mathcal P(E), \triangle)$ du point (v), l'application $f : X \mapsto X \cap \{a\}$ est additive par la distributivité de (v), et l'application $s$ qui envoie $X$ sur son image par l'échange $\tau_{ab}$ l'est aussi, puisqu'une bijection transporte la différence symétrique de deux parties sur celle de leurs images. Or $f(s(\{a\})) = \{b\} \cap \{a\} = \varnothing$ , alors que $s(f(\{a\})) = \{b\}$ : $f \circ s \neq s \circ f$ .

Remarque

L'anneau nul $\{0\}$ est le seul où $1 = 0$ . On l'exclut des anneaux intègres et des corps, mais pas des anneaux : il est le quotient de tout anneau par lui-même.

Repose sur

Groupes

Sert à

Morphismes d'anneaux, sous-anneaux Modules sur un anneau commutatif