Modules sur un anneau commutatif

Les idéaux de $A$, définis au nœud Idéal, seront exactement les sous-modules de $A$, vu comme module sur lui-même ; le quotient $A/I$ sera ainsi à la fois un anneau, au nœud Anneau quotient, et un $A$-module.

Lorsque $A$ est un corps, au sens du nœud Corps, un $A$-module s'appelle un espace vectoriel : c'est l'objet du nœud Algèbre linéaire. Sur l'anneau $\mathbb Z$, une structure de module sur un groupe abélien existe toujours, comme le montrera le nœud Groupes abéliens de type fini, et elle est unique, puisque les axiomes $1x = x$ et $(a + b)x = ax + bx$ imposent $2x = x + x$, puis, de proche en proche, la valeur de chaque multiple ; groupes abéliens et $\mathbb Z$-modules ne font qu'un.

Un module engendré par une famille finie, c'est-à-dire tel qu'il existe $x_1, \dots, x_n \in M$ dont les combinaisons $a_1x_1 + \cdots + a_nx_n$, $a_i \in A$, épuisent $M$, sera dit de type fini. Cette notion demande les entiers, qui ne viennent qu'au nœud $\mathbb N$ : elle n'est employée qu'après lui, et les nœuds Lemme de Nakayama et Modules libres la rappellent là où elle sert.