Groupe quotient

La loi est bien définie. Supposons $x \sim_H x'$ et $y \sim_H y'$, et posons $h = x^{-1}x'$ et $k = y^{-1}y'$, éléments de $H$. Alors $$\begin{aligned} (xy)^{-1}(x'y') &= y^{-1}(x^{-1}x')y' \\ &= (y^{-1}hy)(y^{-1}y') \\ &= (y^{-1}hy)\,k, \end{aligned}$$ qui appartient à $H$ puisque $H$ est distingué. Donc $xy \sim_H x'y'$.

La relation $$\begin{aligned} \{((C, D), E) :\ &\exists x \in C,\ \exists y \in D, \\ &E = \pi(xy)\} \end{aligned}$$ est ainsi le graphe d'une application de $(G/H) \times (G/H)$ dans $G/H$, sans qu'aucun représentant soit choisi, comme au nœud Passage au quotient.

Axiomes de groupe. Tout élément de $G/H$ s'écrit $\pi(x)$, et $\pi(x)\pi(y) = \pi(xy)$. Alors $$\begin{aligned} (\pi(x)\pi(y))\pi(z) &= \pi((xy)z) \\ &= \pi(x(yz)) \\ &= \pi(x)(\pi(y)\pi(z)) ; \end{aligned}$$ $\pi(e)$ est neutre ; $\pi(x^{-1})$ est le symétrique de $\pi(x)$.

Unicité et noyau. Si $\pi$ est un morphisme pour une loi $\star$, alors $\pi(x) \star \pi(y) = \pi(xy)$, ce qui détermine $\star$ sur tous les couples, puisque $\pi$ est surjective. Enfin $\pi(x) = \pi(e)$ équivaut à $x \sim_H e$, c'est-à-dire à $x \in H$.

L'abélianisé. Pour $x, y \in G$, l'élément $(yx)^{-1}(xy) = x^{-1}y^{-1}xy$ est le commutateur $[x^{-1}, y^{-1}]$, qui appartient à $D(G)$ : on a donc $xy \sim_{D(G)} yx$, et $\pi(x)\pi(y) = \pi(xy) = \pi(yx) = \pi(y)\pi(x)$. Soit $f$ un morphisme de $G$ dans un groupe abélien $B$. Alors $f([x, y]) = f(x)f(y)f(x)^{-1}f(y)^{-1}$ est le neutre de $B$ ; le noyau de $f$, qui est un sous-groupe (Morphisme, (iii)), contient tous les commutateurs, donc $D(G)$ (Sous-groupe, (iii)). Si $\pi(x) = \pi(x')$, alors $x^{-1}x' \in D(G)$ et $f(x) = f(x')$ : la relation $\{(\pi(x), f(x)) : x \in G\}$ est le graphe d'une application $\bar f$, qui vérifie $\bar f(\pi(x)\pi(y)) = f(xy) = \bar f(\pi(x))\bar f(\pi(y))$. Elle est unique, puisque $\bar f \circ \pi = f$ fixe sa valeur en chaque $\pi(x)$, et $\pi$ est surjective.