Proposition 5Structures algébriques

Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués

Soit $H$ un sous-groupe de $G$ . Pour $x \in G$ , on pose $xH = \{xh : h \in H\}$ et $Hx = \{hx : h \in H\}$ ; ce sont la classe à gauche et la classe à droite de $x$ modulo $H$ . Le sous-groupe $H$ est distingué, ce qu'on note $H \trianglelefteq G$ , si $ghg^{-1} \in H$ pour tous $g \in G$ et $h \in H$ .

Pour $g \in G$ , la conjugaison $c_g : x \mapsto gxg^{-1}$ est un morphisme de $G$ dans lui-même, puisque $gxg^{-1}\,gyg^{-1} = gxyg^{-1}$ ; l'ensemble $gHg^{-1} = c_g(H)$ est donc un sous-groupe (Morphisme, (iii)). Les sous-groupes $gHg^{-1}$ , pour $g \in G$ , sont les conjugués de $H$ , et deux sous-groupes $H$ et $K$ sont conjugués s'il existe $g \in G$ tel que $K = gHg^{-1}$ , ce qui équivaut à $H = g^{-1}Kg$ .

Le normalisateur de $H$ est $N_G(H) = \{g \in G : gHg^{-1} = H\}$ . C'est un sous-groupe de $G$ qui contient $H$ , et $H$ y est distingué : il contient $e$ et $H$ , puisque $hHh^{-1} = H$ pour $h \in H$ ; si $g, g' \in N_G(H)$ , alors $g'^{-1}Hg' = g'^{-1}(g'Hg'^{-1})g' = H$ , d'où $(gg'^{-1})H(gg'^{-1})^{-1} = g(g'^{-1}Hg')g^{-1} = H$ (Sous-groupe, (i)) ; enfin, pour $g \in N_G(H)$ et $h \in H$ , on a $ghg^{-1} \in gHg^{-1} = H$ .

Le commutateur de deux éléments $x$ et $y$ de $G$ est $[x, y] = xyx^{-1}y^{-1}$ ; il vaut $e$ si et seulement si $xy = yx$ . Le groupe dérivé $D(G)$ est le sous-groupe engendré par les commutateurs (Sous-groupe, (iii)). Il est distingué : pour $g \in G$ , on a $c_g([x, y]) = [c_g(x), c_g(y)]$ , de sorte que l'image réciproque $c_g^{-1}(D(G))$ , qui est un sous-groupe, contient tous les commutateurs, donc $D(G)$ ; ainsi $gD(G)g^{-1} \subset D(G)$ pour tout $g$ .

Énoncé

(i) La relation $x \sim_H y \iff x^{-1}y \in H$ est une relation d'équivalence sur $G$ , dont la classe de $x$ est $xH$ . L'ensemble quotient est noté $G/H$ .

(ii) $H$ est distingué si et seulement si $gH = Hg$ pour tout $g \in G$ .

(iii) Le noyau d'un morphisme est distingué. Dans un groupe abélien, tout sous-groupe est distingué.

(iv) Si $G/H$ a exactement deux éléments, $H$ est distingué.

Démonstration

(i) $x^{-1}x = e \in H$ donne la réflexivité ; $(x^{-1}y)^{-1} = y^{-1}x$ donne la symétrie ; $(x^{-1}y)(y^{-1}z) = x^{-1}z$ donne la transitivité, $H$ étant un sous-groupe. Par symétrie, $y \sim_H x$ équivaut à $x^{-1}y \in H$ , c'est-à-dire à $y = xh$ avec $h = x^{-1}y \in H$ : la classe de $x$ est $xH$ .

(ii) Si $H$ est distingué et $h \in H$ , alors $gh = (ghg^{-1})g \in Hg$ , et $hg = g(g^{-1}hg) \in gH$ , en appliquant la définition à $g^{-1}$ ; donc $gH = Hg$ . Réciproquement, si $gH = Hg$ , tout $gh$ s'écrit $h'g$ avec $h' \in H$ , et $ghg^{-1} = h' \in H$ .

(iii) Si $f(h) = e'$ , alors $f(ghg^{-1}) = f(g)\,e'\,f(g)^{-1} = e'$ , puisque $f(g^{-1}) = f(g)^{-1}$ par le point (i) du nœud Morphisme. Dans un groupe abélien, $ghg^{-1} = h$ .

(iv) Les classes $xH$ forment une partition de $G$ par (i). S'il n'y en a que deux, l'une est $H = eH$ et l'autre son complémentaire, qui est donc $gH$ pour tout $g \notin H$ . Soit $g \in G$ et $h \in H$ : si $g \in H$ , alors $ghg^{-1} \in H$ . Si $g \notin H$ et si $ghg^{-1}$ n'était pas dans $H$ , il appartiendrait à $gH$ et s'écrirait $gh'$ avec $h' \in H$ ; on aurait alors $hg^{-1} = h'$ , puis $g^{-1} = h^{-1}h' \in H$ , et $g \in H$ , ce qui est exclu.

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Remarque

Avec la relation $y x^{-1} \in H$ , on obtiendrait les classes à droite $Hx$ . Le point (ii) dit que les deux partitions de $G$ coïncident exactement lorsque $H$ est distingué.

Remarque

Dans $\mathfrak S(E)$ , avec $a$ , $b$ , $c$ distincts, le sous-groupe $\{\mathrm{id}, \tau_{ab}\}$ n'est pas distingué : $\tau_{bc} \circ \tau_{ab} \circ \tau_{bc}$ échange $a$ et $c$ , et n'est donc ni $\mathrm{id}$ ni $\tau_{ab}$ .

Pour

E = \{a, b, c\}

H = \{\mathrm{id}, \tau_{ab}\}

, chaque contour entoure une classe. La classe

H

est la même des deux côtés, mais les deux autres diffèrent :

\tau_{bc}H

contient

\tau_{bc} \circ \tau_{ab}

, alors que

H\tau_{bc}

contient

\tau_{ab} \circ \tau_{bc}

. Les deux partitions de

\mathfrak S(E)

ne coïncident pas, ce qui confirme que

H

n'est pas distingué.

Repose sur

Sous-groupes Morphismes de groupes Relations, fonctions

Sert à

Groupe quotient Un groupe est en bijection avec H × G/H