Théorème 3Structures algébriques

Un groupe est en bijection avec H × G/H ⋆

⋆ Axiome du choix

La démonstration choisit simultanément un représentant dans chaque classe, ce que permet l'axiome du choix sous la forme de Zermelo : les classes sont non vides et deux à deux disjointes.

Énoncé

Soit $H$ un sous-groupe de $G$ . Il existe une partie $T \subset G$ qui rencontre chaque classe $xH$ en exactement un point (une transversale), et pour toute telle partie, l'application $H \times (G/H) \to G, \qquad (h, C) \mapsto t_C\, h,$ où $t_C$ est l'unique élément de $T \cap C$ , est une bijection. En particulier, $G$ est équipotent à $H \times (G/H)$ .

Démonstration

Les classes à gauche $xH$ , classes de la relation d'équivalence $\sim_H$ du nœud Sous-groupe distingué, forment une partition de $G$ (Relation d'équivalence) ; l'axiome du choix, sous la forme de Zermelo, fournit $T$ . La relation $\{(C, t) \in (G/H) \times G : t \in T \cap C\}$ est le graphe d'une application $C \mapsto t_C$ .

Injectivité. Si $t_C h = t_D k$ , cet élément appartient à $C$ , puisque $t_C \in C = t_C H$ , et à $D$ de même ; les classes étant disjointes, $C = D$ , donc $t_C = t_D$ , et $h = k$ par régularité.

Surjectivité. Soit $x \in G$ et $C = xH$ sa classe. Comme $t_C \in C$ , on a $t_C \sim_H x$ , donc $h = t_C^{-1}x \in H$ , et $x = t_C h$ .

Chaque colonne est une classe à gauche, et la case de la ligne

h

dans la colonne

C

contient

t_C h

. La ligne dorée est la transversale

T

, fournie par l'axiome du choix ; le point rouge

x = t_C h

illustre la surjectivité, puisque tout élément se lit comme un représentant choisi multiplié par un élément de

H

. Le groupe est dessiné fini, mais l'énoncé ne le suppose pas.

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Remarque

Chaque classe $xH$ est en bijection avec $H$ par $h \mapsto xh$ , sans aucun choix. Le choix n'intervient que pour faire ce choix de $x$ dans toutes les classes à la fois.

Remarque

Lorsque $G$ est fini, cet énoncé donnera le théorème de Lagrange, $|G| = |H| \cdot |G/H|$ , une fois les entiers et les cardinaux construits ; pour un groupe fini, l'axiome du choix n'est d'ailleurs pas nécessaire.

Repose sur

Classes modulo un sous-groupe, sous-groupes distingués Relations, fonctions

Sert à

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