Proposition 6Relations, fonctions

Relations d'équivalence et partitions

Une relation d'équivalence sur $E$ est une relation réflexive, symétrique et transitive. La classe de $x \in E$ est $\overline x = \{y \in E : y \sim x\}$ , et l'ensemble quotient $E/\!\sim$ est l'ensemble des classes, obtenu par séparation dans ${\mathcal P}(E)$ . L'application canonique est $\pi : E \to E/\!\sim$ , $x \mapsto \overline x$ ; elle est surjective, puisque toute classe est la classe de l'un de ses éléments.

Une partition de $E$ est un ensemble de parties non vides de $E$ , deux à deux disjointes, dont la réunion est $E$ .

L'ensemble

E

est découpé en trois classes colorées, non vides, deux à deux disjointes et de réunion

E

. L'application canonique

\pi

envoie tous les points d'une même classe sur un seul point de

E/\!\sim

; les points

x

y

, équivalents, ont la même image.

Énoncé

(i) Les classes d'une relation d'équivalence sur $E$ forment une partition de $E$ , et $\overline x = \overline y$ si et seulement si $x \sim y$ .

(ii) Réciproquement, si $\mathcal Q$ est une partition de $E$ , la relation « appartenir au même élément de $\mathcal Q$ » est une relation d'équivalence, dont l'ensemble quotient est $\mathcal Q$ .

Démonstration

(i) Par réflexivité, $x \in \overline x$ : chaque classe est non vide, et leur réunion est $E$ . Supposons $x \sim y$ et soit $u \in \overline x$ . De $u \sim x$ et $x \sim y$ , la transitivité donne $u \sim y$ , donc $u \in \overline y$ . Ainsi $\overline x \subset \overline y$ , et l'inclusion inverse s'obtient de même, puisque $y \sim x$ par symétrie.

Réciproquement, si $\overline x = \overline y$ , alors $x \in \overline y$ , c'est-à-dire $x \sim y$ .

Si deux classes $\overline x$ et $\overline y$ ont un élément commun $z$ , alors $z \sim x$ et $z \sim y$ , d'où $x \sim y$ par symétrie et transitivité, et $\overline x = \overline y$ . Deux classes distinctes sont donc disjointes.

(ii) Tout $x \in E$ appartient à un élément de $\mathcal Q$ , et à un seul, puisque ces éléments sont disjoints ; notons-le $Q_x$ . La relation s'écrit $x \sim y \iff Q_x = Q_y$ , et elle est donc réflexive, symétrique et transitive. La classe de $x$ est $Q_x$ , et tout élément de $\mathcal Q$ , étant non vide, est la classe de l'un de ses points ; l'ensemble des classes est donc $\mathcal Q$ .

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Remarque

Les constructions de $\mathbb Z$ et de $\mathbb Q$ reposent sur ce nœud : $\mathbb Z$ est un quotient de $\mathbb N \times \mathbb N$ , $\mathbb Q$ un quotient de $\mathbb Z \times (\mathbb Z \setminus \{0\})$ . Le corps $\mathbb R$ , construit ici par les coupures de Dedekind, peut aussi l'être comme quotient d'un ensemble de suites de Cauchy. La topologie quotient, au nœud Topologie quotient, munit $E/\!\sim$ d'une topologie.

Repose sur

Application

Sert à

Passage au quotient et décomposition canonique