Définition 2Relations, fonctions

Relation

Énoncé

Une relation de $A$ vers $B$ est une partie $R$ de $A \times B$ ; on écrit $x \mathrel R y$ pour $(x, y) \in R$ . Une relation sur $E$ est une relation de $E$ vers $E$ .

La relation réciproque de $R$ est $R^{-1} = \{(y, x) \in B \times A : x \mathrel R y\}$ .

Une relation $R$ sur $E$ est réflexive si $x \mathrel R x$ pour tout $x \in E$ , symétrique si $x \mathrel R y$ entraîne $y \mathrel R x$ , antisymétrique si $x \mathrel R y$ et $y \mathrel R x$ entraînent $x = y$ , et transitive si $x \mathrel R y$ et $y \mathrel R z$ entraînent $x \mathrel R z$ , ces conditions portant sur tous $x, y, z \in E$ .

Remarque

Une relation est un ensemble de couples, défini sur des ensembles $A$ et $B$ donnés. L'appartenance $\in$ n'est donc pas une relation au sens de cette définition : il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles (paradoxe de Russell). En revanche, sa trace $\{(x, y) \in E \times E : x \in y\}$ sur un ensemble $E$ en est une.

Remarque

Les relations d'ordre, réflexives, antisymétriques et transitives, sont l'objet du nœud Structures d'ordre. Les relations réflexives, symétriques et transitives sont étudiées plus bas.

Repose sur

Existence du produit cartésien

Sert à

Application