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Proposition 2Axiomes de ZF

Il n'existe pas d'ensemble de tous les ensembles

Énoncé

Pour tout ensemble AA, l'ensemble R={x∈A:x∉x}R = \{x \in A : x \notin x\} n'appartient pas à AA. En particulier, aucun ensemble ne contient tous les ensembles.

Démonstration

L'ensemble RR existe par le schéma de séparation. Supposons R∈AR \in A. Par définition de RR, on a alors R∈R⇔R∉RR \in R \Leftrightarrow R \notin R, ce qui est contradictoire. Donc R∉AR \notin A, et AA ne contient pas tous les ensembles.

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Remarque

La démonstration n'utilise que le schéma de séparation, et elle explique sa forme : on ne peut former {x:φ(x)}\{x : \varphi(x)\} qu'à l'intérieur d'un ensemble AA déjà construit. Le schéma de compréhension naïf, sans AA, est contradictoire.

Repose sur

Schéma de séparation

Sert à

Aucune fiche de ce graphe ne l'utilise encore.
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