Théorie

Relations, fonctions

Le couple de Kuratowski $(a,b) = \{\{a\},\{a,b\}\}$ vérifie $(a,b) = (c,d) \Leftrightarrow (a = c \text{ et } b = d)$. Il permet de définir le produit cartésien, puis les relations et les applications, identifiées à leurs graphes. Une application est une bijection si tout élément de l'ensemble d'arrivée a exactement un antécédent, et deux ensembles sont équipotents s'il existe une bijection de l'un sur l'autre. Aucun ensemble n'est équipotent à l'ensemble de ses parties (Cantor), et deux ensembles qui s'injectent chacun dans l'autre sont équipotents (Cantor-Bernstein), sans recours à l'axiome du choix.