Images directes et réciproques

La notation $\bigcup_{Y \in \mathcal Y} f^{-1}(Y)$ désigne la réunion de l'ensemble $\{X \in {\mathcal P}(A) : \exists Y \in \mathcal Y,\ X = f^{-1}(Y)\}$, qui existe par séparation ; de même pour les autres.

(i) Un élément $a$ appartient à $f^{-1}(\bigcup \mathcal Y)$ si et seulement si $f(a)$ appartient à l'un des $Y \in \mathcal Y$, c'est-à-dire si et seulement si $a$ appartient à l'un des $f^{-1}(Y)$. Le même raisonnement, avec « tous » au lieu de « l'un », donne l'intersection.

(ii) $a \in f^{-1}(B \setminus Y)$ si et seulement si $f(a) \notin Y$, si et seulement si $a \notin f^{-1}(Y)$.

(iii) $b \in f(\bigcup \mathcal X)$ si et seulement s'il existe $X \in \mathcal X$ et $a \in X$ tels que $f(a) = b$, si et seulement si $b$ appartient à l'un des $f(X)$. Si $b = f(a)$ avec $a \in X \cap X'$, alors $b \in f(X)$ et $b \in f(X')$.

(iv) Si $a \in X$, alors $f(a) \in f(X)$, donc $a \in f^{-1}(f(X))$. Un élément $b$ appartient à $f(f^{-1}(Y))$ si et seulement s'il est de la forme $f(a)$ avec $f(a) \in Y$, c'est-à-dire s'il appartient à $Y$ et à $f(A)$.