Continuité

Une application $f : X \to Y$ est continue si l'image réciproque de tout ouvert de $Y$ est un ouvert de $X$. Elle est continue en $a$ si l'image réciproque de tout voisinage de $f(a)$ est un voisinage de $a$. Alors :

(i) $f$ est continue si et seulement si l'image réciproque de tout fermé est fermée ;

(ii) $f$ est continue si et seulement si elle est continue en tout point ;

(iii) la composée de deux applications continues est continue ;

(iv) si $\mathcal B$ est une base de $Y$, il suffit que $f^{-1}(B)$ soit ouvert pour tout $B \in \mathcal B$.

L'application $f$ est dite ouverte si l'image directe par $f$ de tout ouvert de $X$ est un ouvert de $Y$ ; cette propriété porte sur les images directes, là où la continuité porte sur les images réciproques.