Proposition 5Structures topologiques

Topologie induite

Énoncé

Soit $A \subset X$ . La topologie induite sur $A$ est $\mathcal T_A = \{O \cap A : O \in \mathcal T\}$ . C'est une topologie, l'inclusion $i : A \to X$ est continue, et pour tout espace $Z$ , une application $g : Z \to A$ est continue si et seulement si $i \circ g : Z \to X$ l'est.

Démonstration

Les réunions et les intersections commutent avec l'intersection par $A$ , donc $\mathcal T_A$ est une topologie. On a $i^{-1}(O) = O \cap A$ , d'où la continuité de $i$ .

Enfin $(i \circ g)^{-1}(O) = g^{-1}(O \cap A)$ pour tout ouvert $O$ de $X$ ; comme tout ouvert de $A$ est de la forme $O \cap A$ , les deux continuités sont équivalentes.

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Remarque

Un ouvert de $A$ n'est pas nécessairement ouvert dans $X$ : dans $\mathbb R$ , la partie $[0, \frac12[$ est ouverte dans $[0, 1]$ sans être ouverte dans $\mathbb R$ . Dire « ouvert » sans préciser l'espace est la source d'erreur la plus fréquente de ce chapitre.

Repose sur

Continuité

Sert à

Espaces séparés Images, réunions et adhérences de connexes