Proposition 8Structures topologiques

Espaces séparés

Énoncé

Un espace est séparé si deux points distincts ont des voisinages disjoints. Alors :

(i) dans un espace séparé, les singletons sont fermés ;

(ii) $X$ est séparé si et seulement si la diagonale $\Delta = \{(x,x) : x \in X\}$ est fermée dans $X \times X$ ;

(iii) toute partie d'un espace séparé, munie de la topologie induite, est séparée.

Démonstration

(i) Soit $x \in X$ . Tout $y \neq x$ appartient à un ouvert qui ne contient pas $x$ , donc $X \setminus \{x\}$ est la réunion de tous les ouverts qui ne contiennent pas $x$ : il est ouvert.

(ii) Si $X$ est séparé et $x \neq y$ , il existe des ouverts disjoints $U \ni x$ et $V \ni y$ ; le cylindre $U \times V$ contient $(x,y)$ et ne rencontre pas $\Delta$ . Le complémentaire de $\Delta$ est donc la réunion des cylindres qui ne rencontrent pas $\Delta$ : il est ouvert.

Réciproquement, si ce complémentaire est ouvert et $x \neq y$ , il contient un cylindre $U \times V \ni (x,y)$ ; ne pas rencontrer $\Delta$ signifie exactement $U \cap V = \varnothing$ .

Le cylindre

U \times V

contient

(x, y)

et évite la diagonale

\Delta

, car un point

(t, t)

U \times V

demanderait

t \in U \cap V

. Sur les côtés du carré, on lit les ouverts disjoints

U \ni x

V \ni y

(iii) Si $U$ et $V$ séparent $x$ et $y$ dans $X$ , alors $U \cap A$ et $V \cap A$ les séparent dans $A$ .

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Remarque

Une suite $(x_n)$ converge vers $\ell$ si tout voisinage de $\ell$ contient les $x_n$ à partir d'un certain rang (les entiers viendront avec ℕ). Dans un espace séparé, une suite a au plus une limite. Sans séparation, une suite peut converger vers tous les points : c'est le cas de n'importe quelle suite pour la topologie grossière.

Repose sur

Ouverts et voisinages Topologie produit Topologie induite

Sert à

Compacité