Proposition 1Structures topologiques

Ouverts et voisinages

Énoncé

Une partie $V$ est un voisinage de $x$ si elle contient un ouvert contenant $x$ . Une partie $U$ de $X$ est ouverte si et seulement si elle est voisinage de chacun de ses points.

Démonstration

Si $U$ est ouvert, il est voisinage de chacun de ses points, puisqu'il se contient lui-même.

Réciproquement, supposons $U$ voisinage de chacun de ses points, et posons $W = \bigcup \{O \in \mathcal T : O \subset U\}.$ C'est un ouvert, comme réunion d'ouverts, et $W \subset U$ . Tout $x \in U$ appartient à un ouvert inclus dans $U$ , donc à $W$ . Ainsi $U = W$ est ouvert.

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Remarque

On aurait pu choisir, pour chaque $x \in U$ , un ouvert $O_x$ tel que $x \in O_x \subset U$ , puis écrire $U = \bigcup_x O_x$ . Ce choix simultané d'une infinité d'ouverts utiliserait l'axiome du choix ; prendre la réunion de tous les ouverts inclus dans $U$ l'évite. Ce procédé reviendra dans tout ce graphe.

Repose sur

Espace topologique

Sert à

Intérieur, adhérence Continuité Espaces séparés