Proposition 2Structures topologiques

Intérieur, adhérence

Énoncé

Soit $A \subset X$ . L'intérieur $\mathring A$ est la réunion des ouverts inclus dans $A$ , et l'adhérence $\overline A$ l'intersection des fermés contenant $A$ . Alors :

(i) $\mathring A$ est le plus grand ouvert inclus dans $A$ , et $\overline A$ le plus petit fermé contenant $A$ ;

(ii) $X \setminus \overline A$ est l'intérieur de $X \setminus A$ ;

(iii) $x \in \overline A$ si et seulement si tout voisinage de $x$ rencontre $A$ .

Démonstration

(i) $\mathring A$ est ouvert comme réunion d'ouverts, inclus dans $A$ , et contient tout ouvert inclus dans $A$ . De même, $\overline A$ est fermé comme intersection de fermés, contient $A$ , et est inclus dans tout fermé contenant $A$ .

(ii) Un fermé $F$ contient $A$ si et seulement si l'ouvert $X \setminus F$ est inclus dans $X \setminus A$ . Par les lois de De Morgan, $\begin{aligned} X \setminus \overline A = \bigcup \{X \setminus F :{} &F \text{ fermé}, \\ &F \supset A\} \end{aligned}$ est donc la réunion des ouverts inclus dans $X \setminus A$ .

(iii) D'après (ii), $x \notin \overline A$ équivaut à l'existence d'un ouvert $O$ tel que $x \in O \subset X \setminus A$ , c'est-à-dire, par définition des voisinages (Voisinages), d'un voisinage de $x$ qui ne rencontre pas $A$ .

Le bord de

A

est en trait plein là où ses points appartiennent à

A

, en pointillé là où ils n'y appartiennent pas. Le point

x

, sur la partie pointillée, n'est pas dans

A

, mais tout voisinage

V

x

rencontre

A

x \in \overline A

. Le point

y

a un voisinage

W

disjoint de

A

: il n'est pas dans

\overline A

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Repose sur

Ouverts et voisinages

Sert à

Images, réunions et adhérences de connexes