Images, réunions et adhérences de connexes

Le point (i), joint au fait que les parties connexes de $\mathbb R$ sont les intervalles, redonne le théorème des valeurs intermédiaires du chapitre Continuité : c'est sa forme topologique.

Le point (iii) rend connexes des réunions de parties disjointes, pourvu que l'une soit contenue dans l'adhérence de l'autre. Dans $\mathbb R^2$, soit $A$ le graphe de $x \mapsto \sin\frac1x$ sur $]0, 1]$, où $\sin$ est la fonction que l'analyse réelle construira (Cosinus et sinus sur ℝ). C'est l'image de l'intervalle $]0, 1]$, connexe comme l'établira le chapitre Parties connexes de ℝ, par l'application continue $x \mapsto (x, \sin\frac1x)$ : il est connexe par (i).

Soit $y \in [-1, 1]$. Le point $(\sqrt{1 - y^2}, y)$ est sur le cercle unité, et le point (iii) du nœud Paramétrage du cercle, d'où vient aussi la période $2\pi$ de $\sin$, le nombre $\pi$ étant défini au nœud Arc tangente, π, fournit $t_0 \in [0, 2\pi[$ tel que $(\cos t_0, \sin t_0) = (\sqrt{1 - y^2}, y)$, donc $\sin t_0 = y$.

Les réels $x_n = \frac{1}{t_0 + 2n\pi}$, pour $n \geqslant 1$, appartiennent à $]0, 1]$, puisque $t_0 + 2n\pi \geqslant 2\pi > 1$ ; ils tendent vers $0$ et vérifient $\sin\frac{1}{x_n} = y$.

Tout voisinage de $(0, y)$ contient un cylindre $]{-\varepsilon}, \varepsilon[ \,\times\, ]y - \varepsilon, y + \varepsilon[$ pour un certain $\varepsilon > 0$, qui contient les points $(x_n, y)$ de $A$ pour $n$ assez grand : le point $(0, y)$ est adhérent à $A$.

Le segment $S = \{0\} \times [-1, 1]$ vérifie donc $S \subset \overline A$, d'où $A \subset A \cup S \subset \overline A$. Par (iii), la partie $A \cup S$ est connexe, alors que le graphe ne rencontre jamais le segment.