Parties connexes de ℝ

Une partie est connexe lorsqu'elle l'est pour la topologie induite, dont les ouverts sont décrits au nœud Topologie usuelle de ℝ, (iv).

Une partie connexe est un intervalle. Supposons que $A$ n'est pas un intervalle : il existe $x < z < y$ avec $x, y \in A$ et $z \notin A$. Alors $$\begin{aligned} A = {}&\big(A \,\cap\, ]{-\infty}, z[\big) \\ &\cup \big(A \,\cap\, ]z, +\infty[\big), \end{aligned}$$ réunion de deux ouverts de $A$, disjoints, non vides puisque le premier contient $x$ et le second $y$. Donc $A$ n'est pas connexe.

Un intervalle est connexe. Soit $I$ un intervalle ; l'ensemble vide est connexe, et l'on suppose $I$ non vide.

Supposons $I = U \cup V$, avec $U$ et $V$ ouverts dans $I$, disjoints et non vides. Soit $a \in U$ et $b \in V$ ; quitte à échanger $U$ et $V$, on peut supposer $a < b$, et $[a, b] \subset I$ puisque $I$ est un intervalle. Posons $$E = \{x \in [a, b] : [a, x] \subset U\}.$$ Elle contient $a$ et elle est majorée par $b$ ; soit $c = \sup E$, qui appartient à $[a, b]$, donc à $I$.

Remarquons que $[a, c[ \,\subset U$ : si $a \leqslant y < c$, le réel $y$ ne majore pas $E$, il existe $x \in E$ avec $x > y$, et $y \in [a, x] \subset U$.

Si $c \in V$, alors $c \neq a$. Il existe $r > 0$ tel que $]c - r, c + r[ \,\cap I \subset V$. Le point $y = \max(a, c - \frac r2)$ appartient à $[a, c[$, donc à $U$, et aussi à $]c - r, c + r[ \,\cap I$, donc à $V$ : c'est impossible, puisque $U \cap V = \varnothing$.

Si $c \in U$, alors $[a, c] \subset U$, et $c \neq b$ puisque $b \in V$. Il existe $r > 0$ tel que $]c - r, c + r[ \,\cap I \subset U$. Le point $x = \min(b, c + \frac r2)$ vérifie $]c, x] \subset \,]c - r, c + r[ \,\cap I \subset U$, donc $[a, x] \subset U$ et $x \in E$ ; or $x > c$, ce qui contredit $c = \sup E$.

Les deux cas sont impossibles, alors que $c \in I = U \cup V$ : l'intervalle $I$ est connexe.