Théorie

Analyse réelle

L'analyse réelle étudie les fonctions de ${\mathbb R}$ dans $\mathbb R$ : limites, continuité, dérivation, intégration. Elle repose sur la propriété de la borne supérieure, qui distingue $\mathbb R$ de ${\mathbb Q}$, et sur la topologie de $\mathbb R$.

Deux chapitres y construisent les fonctions usuelles par l'intégrale de Riemann, sans séries entières ni nombres complexes : le logarithme $\int_1^x \frac{dt}{t}$, l'exponentielle et les puissances réelles, puis l'arc tangente $\int_0^x \frac{dt}{1 + t^2}$, le nombre $\pi$, la tangente, le cosinus et le sinus.

Un dernier chapitre compare les fonctions au voisinage d'un point, par les relations de négligeabilité, de domination et d'équivalence, établit les développements limités à tout ordre et la formule de Taylor-Young, et les applique à l'étude locale des fonctions et aux séries à termes positifs.