Théorème fondamental de l'analyse

Soit $x \in I$ et $h \neq 0$ tel que $x + h \in I$. La relation de Chasles orientée et la linéarité (Propriétés de l'intégrale, (i) et (v)), avec l'intégrale d'une constante (Propriétés (escalier), (i)), donnent l'égalité ci-dessous ; l'inégalité de la moyenne (Inégalité de la moyenne, (i)), appliquée à $t \mapsto f(t) - f(x)$ sur le segment d'extrémités $x$ et $x + h$, donne la majoration : $$\begin{aligned} &\left| \frac{F(x+h) - F(x)}{h} - f(x) \right| \\ &\quad = \left| \frac{1}{h} \int_x^{x+h} \big(f(t) - f(x)\big)\,dt \right| \\ &\quad \leqslant \sup_{t \in [x, x+h]} |f(t) - f(x)|, \end{aligned}$$ où $[x, x + h]$ désigne le segment d'extrémités $x$ et $x + h$, dans un ordre quelconque, contenu dans $I$ puisque $I$ est un intervalle.

Par continuité de $f$ en $x$, pour $\varepsilon > 0$, il existe $\delta > 0$ tel que $|f(t) - f(x)| < \varepsilon$ pour $t \in I$ et $|t - x| < \delta$ ; dès que $|h| < \delta$, ce majorant est donc au plus $\varepsilon$. Le taux d'accroissement de $F$ en $x$ tend vers $f(x)$, ce qui est la définition de $F'(x) = f(x)$ (Dérivabilité en un point).