Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier

Soit $\sigma = (x_0 < \cdots < x_n)$ une subdivision adaptée à la fois à $\varphi$ et à $\psi$ (Fonctions en escalier, (ii)), $\varphi$ valant $c_i$ et $\psi$ valant $d_i$ sur $]x_i, x_{i+1}[$.

(i) La fonction $\varphi + \lambda\psi$ vaut $c_i + \lambda d_i$ sur $]x_i, x_{i+1}[$. Comme l'intégrale d'une fonction en escalier se calcule sur n'importe quelle subdivision adaptée (Intégrale d'un escalier), on obtient $$\begin{aligned} \int_a^b (\varphi + \lambda\psi) &= \sum_i (c_i + \lambda d_i)(x_{i+1} - x_i) \\ &= \int_a^b \varphi + \lambda\int_a^b \psi. \end{aligned}$$ Pour la constante $\lambda$, la subdivision $\{a, b\}$ est adaptée et donne $\lambda(b - a)$.

(ii) Si $\varphi \leqslant \psi$, l'évaluation au milieu de $]x_i, x_{i+1}[$ donne $c_i \leqslant d_i$, et chaque terme de la somme qui définit $\int \varphi$ est inférieur ou égal au terme correspondant pour $\psi$. On applique ce résultat à $-|\varphi| \leqslant \varphi \leqslant |\varphi|$, fonctions en escalier, puis à $|\varphi| \leqslant \sup|\varphi|$, en utilisant (i).

(iii) La subdivision $\sigma \cup \{c\}$ est adaptée à $\varphi$ ; ses points inférieurs ou égaux à $c$ forment une subdivision de $[a, c]$ adaptée à la restriction, et ses points supérieurs ou égaux à $c$ une subdivision de $[c, b]$. La somme qui définit $\int_a^b \varphi$ se coupe en deux sommes, qui sont $\int_a^c \varphi$ et $\int_c^b \varphi$.