Définition 3Intégrale de Riemann

Fonctions intégrables au sens de Riemann

Énoncé

Soit $f : [a, b] \to {\mathbb R}$ une fonction bornée. Notons $\mathcal E^-(f)$ l'ensemble des fonctions en escalier $\varphi \leqslant f$ , et $\mathcal E^+(f)$ celui des fonctions en escalier $\psi \geqslant f$ . L'intégrale inférieure et l'intégrale supérieure de $f$ sont $I^-(f) = \sup_{\varphi \in \mathcal E^-(f)} \int_a^b \varphi,$ $I^+(f) = \inf_{\psi \in \mathcal E^+(f)} \int_a^b \psi.$

Ces deux réels existent et vérifient $I^-(f) \leqslant I^+(f)$ . La fonction $f$ est intégrable au sens de Riemann si $I^-(f) = I^+(f)$ ; cette valeur commune est son intégrale, notée $\int_a^b f$ ou $\int_a^b f(t)\,dt$ .

Pour

f(x) = \frac32 + \frac12 x(x - \frac95)(x - 3)

sur

[0, 3]

, l'escalier

\varphi

, en bleu, prend sur chaque intervalle d'une subdivision le minimum de

f

, et l'escalier

\psi

, en vert, son maximum :

\varphi \in \mathcal E^-(f)

\psi \in \mathcal E^+(f)

. Leurs intégrales, environ

4{,}49

5{,}77

, encadrent

I^-(f) \leqslant I^+(f)

, et l'aire de la région rouge est leur écart ; le nœud suivant montre que

f

est intégrable si et seulement si cette aire peut être rendue aussi petite qu'on veut.

Toute fonction en escalier est intégrable, et son intégrale en ce sens est celle du nœud Intégrale d'un escalier.

Démonstration

Soit $M$ un réel tel que $|f| \leqslant M$ . Les constantes $-M$ et $M$ sont des fonctions en escalier qui encadrent $f$ : les deux ensembles sont non vides.

Si $\varphi \leqslant f \leqslant \psi$ avec $\varphi$ et $\psi$ en escalier, alors $\varphi \leqslant \psi$ , et la croissance de l'intégrale des fonctions en escalier (Propriétés (escalier), (ii)) donne $\int_a^b \varphi \leqslant \int_a^b \psi.$

L'ensemble des intégrales des $\varphi \in \mathcal E^-(f)$ est donc non vide et majoré par chacune des intégrales des $\psi \in \mathcal E^+(f)$ : il possède une borne supérieure $I^-(f)$ , par la propriété de la borne supérieure de $\mathbb R$ (Borne supérieure), et $I^-(f) \leqslant \int_a^b \psi$ pour tout $\psi \in \mathcal E^+(f)$ .

L'ensemble de ces dernières intégrales, non vide et minoré par $I^-(f)$ , possède donc une borne inférieure $I^+(f) \geqslant I^-(f)$ .

Si $f$ est en escalier, elle appartient à $\mathcal E^-(f)$ et à $\mathcal E^+(f)$ , d'où $I^+(f) \leqslant \int_a^b f \leqslant I^-(f)$ , et les trois quantités sont égales.

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Remarque

L'indicatrice $f$ de ${\mathbb Q} \cap [0, 1]$ n'est pas intégrable : $I^-(f) = 0$ et $I^+(f) = 1$ .

En effet, tout intervalle ouvert non vide $]u, v[$ contient un rationnel $r$ , par densité (Archimède, densité de ℚ), et un irrationnel, de la forme $r + \frac{\sqrt 2}{m}$ pour un entier $m$ assez grand, puisque $\sqrt 2$ est irrationnel (Irrationalité de √2).

Une fonction en escalier $\varphi \leqslant f$ vaut donc au plus $0$ sur chaque intervalle ouvert d'une subdivision adaptée, et une fonction en escalier $\psi \geqslant f$ y vaut au moins $1$ .

Cette même fonction est intégrable au sens de Lebesgue (Riemann et Lebesgue).

Remarque

L'erreur la plus répandue est d'oublier l'hypothèse que $f$ est bornée. Elle est indispensable, puisqu'une fonction en escalier est bornée : sur $[0, 1]$ , la fonction nulle en $0$ et égale à $1/x$ ailleurs n'est majorée par aucune fonction en escalier, et l'intégrale de Riemann ne la concerne pas. Les intégrales de fonctions non bornées seront des limites d'intégrales sur des segments plus petits.

Repose sur

Propriétés de l'intégrale des fonctions en escalier ℝ, corps ordonné complet

Sert à

Critère d'intégrabilité par encadrement