L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann

Soit $M$ un majorant de $|f|$. Pour $n \in {\mathbb N}$, découpons $[a, b]$ en $2^n$ segments égaux $I_k$, de longueur $\delta_n = (b - a)2^{-n}$. Soit $\varphi_n$ la fonction égale à $f$ aux points de découpage et à $\inf_{I_k} f$ sur l'intérieur de $I_k$, et $\psi_n$ définie de même avec $\sup$.

Ce sont des fonctions en escalier, boréliennes, et $\varphi_n \leqslant f \leqslant \psi_n$. Les points de découpage de rang $n$ le sont aussi de rang $n + 1$, et un segment plus petit a un $\inf$ plus grand : $(\varphi_n)$ croît et $(\psi_n)$ décroît.

Pour une fonction en escalier, l'intégrale du nœud Intégrale de Riemann coïncide avec l'intégrale par rapport à $\lambda$, puisque $\lambda(]x_i, x_{i+1}[) = x_{i+1} - x_i$ et que les points sont négligeables.

Soit $\varepsilon > 0$, et $\varphi \leqslant f \leqslant \psi$ des fonctions en escalier, adaptées à une subdivision à $p$ points, avec $\int (\psi - \varphi) < \varepsilon$.

Sur un $I_k$ qui ne contient aucun point de cette subdivision, $\varphi$ et $\psi$ sont constantes, et $\psi_n - \varphi_n \leqslant \psi - \varphi$ à l'intérieur de $I_k$. Les autres $I_k$ sont au plus $2p$, et sur chacun $\psi_n - \varphi_n \leqslant 2M$. Donc $$\int (\psi_n - \varphi_n) \leqslant \varepsilon + 4pM\delta_n < 2\varepsilon$$ pour $n$ grand.

Soient $u = \lim \varphi_n$ et $v = \lim \psi_n$, boréliennes, avec $u \leqslant f \leqslant v$. Par convergence monotone (Convergence monotone), appliquée à $\psi_0 - \psi_n$ et à $\varphi_n - \varphi_0$, $\int (v - u) \, d\lambda = \lim \int (\psi_n - \varphi_n) = 0$, donc $u = v$ presque partout.

L'ensemble $\{f \neq u\}$ est contenu dans le négligeable $\{u \neq v\}$ ; la tribu de Lebesgue étant complète (Carathéodory), $f$ est mesurable. Enfin $\int f \, d\lambda = \int u \, d\lambda = \lim \int \varphi_n$, qui est la limite des sommes inférieures, donc l'intégrale de Riemann de $f$.