Théorème 5Mesure, intégration

Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)

Énoncé

Si $(f_n)$ est une suite croissante de fonctions mesurables positives, de limite $f$ , alors $\int f \, d\mu = \lim_n \int f_n \, d\mu.$ Par conséquent :

(i) $\int (f + g) = \int f + \int g$ et $\int cf = c \int f$ pour $f, g$ mesurables positives et $c \in {[0, +\infty]}$ ;

(ii) $\int \sum_n f_n \, d\mu = \sum_n \int f_n \, d\mu$ pour toute suite de fonctions mesurables positives ;

(iii) pour $f$ mesurable positive, $A \mapsto \int_A f \, d\mu$ est une mesure sur $\mathcal A$ .

Démonstration

$f = \sup_n f_n$ est mesurable, et la suite $\int f_n$ , croissante et majorée par $\int f$ , a une limite $L \leqslant \int f$ .

Soit $s = \sum_i c_i \mathbf 1_{A_i}$ étagée avec $0 \leqslant s \leqslant f$ , et $c \in \,]0, 1[$ . Les ensembles $E_n = \{f_n \geqslant cs\}$ croissent et recouvrent $X$ : si $s(x) = 0$ , $x \in E_0$ ; sinon $cs(x) < s(x) \leqslant f(x) = \lim f_n(x)$ .

Alors $\int f_n \geqslant \int c\,s\,\mathbf 1_{E_n} = c \sum_i c_i\, \mu(A_i \cap E_n),$ qui tend vers $c \int s$ par continuité croissante de $\mu$ et Sommes dans [0, +∞], (ii).

Donc $L \geqslant c\int s$ , puis $L \geqslant \int s$ en faisant tendre $c$ vers $1$ , et $L \geqslant \int f$ .

Sur

]0, 2]

, avec

f(x) = 1 + x(2 - x)

, la fonction étagée

s

(vert) vaut

\frac32

sur

\{f \geqslant \frac32\}

1

ailleurs, et

cs

(pointillé vert) est prise avec

c = \frac34

. Les fonctions bleues

f_n = f \cdot \big(1 - (1 - \frac x2)^n\big)

croissent vers

f

, et les ensembles rouges

E_2 \subset E_6

, où

f_n \geqslant cs

, croissent eux aussi sans être forcément des intervalles :

E_6

a deux morceaux, coupés au saut de

cs

(i) On approche $f$ et $g$ par des suites croissantes d'étagées $s_n$ et $t_n$ (Fonctions étagées) ; $s_n + t_n$ croît vers $f + g$ , et l'additivité sur les étagées passe à la limite par le théorème et Sommes dans [0, +∞], (ii). De même pour $cf$ quand $c < +\infty$ , les $c\,s_n$ étant étagées et croissant vers $cf$ .

Pour $c = +\infty$ , $cf$ vaut $+\infty$ sur $\{f > 0\}$ et $0$ ailleurs. Si $\mu(\{f > 0\}) = 0$ , les deux membres sont nuls, puisque $\int f = 0$ et $\int cf = 0$ (Intégrale positive, (iv)). Sinon, $\int f > 0$ par le même point, et $\int cf \geqslant n\,\mu(\{f > 0\})$ pour tout $n$ : les deux membres valent $+\infty$ .

(ii) Les sommes partielles croissent vers $\sum_n f_n$ ; on applique le théorème et (i).

(iii) Si les $A_n$ sont disjoints, $f\mathbf 1_{\bigcup A_n} = \sum_n f\mathbf 1_{A_n}$ , et l'on applique (ii).

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Remarque

La croissance est essentielle. Pour la mesure de comptage $\mu$ sur ${\mathbb N}$ , la suite des indicatrices $f_n = \mathbf 1_{\{n, n + 1, \dots\}}$ décroît vers $0$ , puisque tout entier $k$ sort de l'ensemble $\{n, n + 1, \dots\}$ dès que $n > k$ , mais $\int f_n \, d\mu = \mu(\{n, n + 1, \dots\}) = +\infty$ pour tout $n$ : la masse ne disparaît pas, elle s'enfuit à l'infini.

Remarque

Pour la mesure de comptage, (ii) redonne l'interversion $\sum_m \sum_n a_{mn} = \sum_n \sum_m a_{mn}$ pour des termes positifs, déjà obtenue directement au nœud Sommes dans [0, +∞].

Repose sur

Intégrale des fonctions positives

Sert à

Lemme de Fatou Fonctions intégrables L'intégrale de Lebesgue prolonge celle de Riemann Tribu produit et mesure produit