Lemme 1Mesure, intégration

Lemme de Fatou

Énoncé

Pour toute suite $(f_n)$ de fonctions mesurables positives, $\int \liminf_n f_n \, d\mu \leqslant \liminf_n \int f_n \, d\mu.$

Démonstration

Posons $g_n = \inf_{k \geqslant n} f_k$ , mesurable ; la suite $(g_n)$ croît vers $\liminf f_n$ . Pour $k \geqslant n$ , $g_n \leqslant f_k$ , donc $\int g_n \leqslant \inf_{k \geqslant n} \int f_k$ . Par convergence monotone (Convergence monotone), $\begin{aligned} \int \liminf f_n &= \lim_n \int g_n \\ &\leqslant \lim_n \inf_{k \geqslant n} \int f_k \\ &= \liminf \int f_n. \end{aligned}$

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Remarque

L'inégalité peut être stricte. Pour la mesure de comptage sur ${\mathbb N}$ et $f_n = \mathbf 1_{\{n\}}$ , chaque $\int f_n$ vaut $1$ , mais $\liminf f_n = 0$ , puisque $f_n(k) = 0$ dès que $n > k$ : c'est encore une fuite de masse à l'infini.

La masse peut aussi se perdre dans un espace de mesure finie. Sur $\mathbb N^* = \{1, 2, \dots\}$ , muni de toutes ses parties, posons $w_k = \frac1{k(k+1)} = \frac1k - \frac1{k+1}$ et $\mu(A) = \sum_{k \in A} w_k$ : c'est une mesure, par la sommation par paquets (Sommes dans [0, +∞], (iv)), et sa masse est $1$ , puisque $\sum_{k < N} w_k = 1 - \frac1N$ . Pour $f_n = n(n + 1)\mathbf 1_{\{n\}}$ , on a $\int f_n \, d\mu = n(n + 1)\,w_n = 1$ , alors que $f_n$ tend simplement vers $0$ : l'inégalité est de même stricte, la masse se concentrant sur des points de poids de plus en plus faible.

À gauche, pour la mesure de comptage, la bosse

f_n = \mathbf 1_{\{n\}}

glisse vers l'infini. À droite, chaque point

k

\mathbb N^*

est figuré par le segment

]\frac1{k+1}, \frac1k]

, de longueur

w_k

, et la bosse

f_n = n(n + 1)\mathbf 1_{\{n\}}

s'écrase contre

0

en s'allongeant. Chaque rectangle a une aire

1

, alors que la limite simple, en rouge sur l'axe, est nulle : la masse perdue à la limite rend l'inégalité stricte.

Repose sur

Théorème de convergence monotone (Beppo Levi)

Sert à

Théorème de convergence dominée