Proposition 1Mesure, intégration

La demi-droite achevée et les sommes positives

On note ${[0, +\infty]} = [0, +\infty[ \cup \{+\infty\}$ , ordonné en plaçant $+\infty$ au-dessus de tous les réels. Toute partie non vide $A$ y a une borne supérieure $\sup A$ , égale à $+\infty$ si $A$ contient $+\infty$ ou n'est pas majorée dans ${\mathbb R}$ , et donnée par la propriété de la borne supérieure sinon.

On prolonge l'addition par $a + (+\infty) = +\infty$ , et la multiplication par $a \cdot (+\infty) = +\infty$ si $a > 0$ et $0 \cdot (+\infty) = 0$ . Pour une suite croissante $(a_n)$ , on note $\lim_n a_n = \sup_n a_n$ ; quand les $a_n$ sont des réels majorés, c'est la limite usuelle.

Pour une famille quelconque $(a_i)_{i \in I}$ d'éléments de $[0, +\infty]$ , on pose $\sum_{i \in I} a_i = \sup\Big\{\sum_{i \in F} a_i : F \subset I \text{ fini}\Big\}.$

Énoncé

(i) Sommes finies. Pour $I$ fini, il existe une unique application $S : {\mathcal P}(I) \to [0, +\infty]$ telle que $S(\varnothing) = 0$ et $S(A \cup \{i\}) = S(A) + a_i$ pour $i \notin A$ ; on note $\sum_{i \in A} a_i = S(A)$ . Elle ne dépend d'aucun ordre sur $I$ , et coïncide avec la définition générale.

(ii) Bornes supérieures. Pour $A, B \subset [0, +\infty]$ non vides et $c \in [0, +\infty]$ , $\sup(A + B) = \sup A + \sup B$ et $\sup(cA) = c \sup A$ . Si $(a_n)$ et $(b_n)$ sont croissantes, $\lim (a_n + b_n) = \lim a_n + \lim b_n$ .

(iii) Pour $I = {\mathbb N}$ , $\sum_{n \in \mathbb N} a_n = \lim_N \sum_{n < N} a_n$ .

(iv) Sommation par paquets. Si $I$ est la réunion disjointe d'une famille $(I_j)_{j \in J}$ , alors $\sum_{i \in I} a_i = \sum_{j \in J} \Big(\sum_{i \in I_j} a_i\Big).$ En particulier, une somme ne change pas quand on réindexe ses termes par une bijection, et $\sum_m \sum_n a_{mn} = \sum_n \sum_m a_{mn}$ .

Démonstration

(i) C'est le nœud Sommes finies, appliqué à $[0, +\infty]$ muni de l'addition, qui est associative et commutative, de neutre $0$ , comme on le vérifie en séparant le cas où un terme est infini. Enfin $S$ est croissante pour l'inclusion, puisque les termes sont positifs : la borne supérieure sur les parties finies de $I$ est atteinte en $I$ .

(ii) Pour $a \in A$ et $b \in B$ , $a + b \leqslant \sup A + \sup B$ , l'addition de $[0, +\infty]$ étant croissante en chaque variable ; donc $\sup(A + B) \leqslant \sup A + \sup B$ . Si $\sup A$ et $\sup B$ sont finis, pour $\varepsilon > 0$ il existe $a \in A$ et $b \in B$ avec $a > \sup A - \varepsilon$ et $b > \sup B - \varepsilon$ , d'où $a + b > \sup A + \sup B - 2\varepsilon$ . Si, disons, $\sup A = +\infty$ , les $a + b \geqslant a$ ne sont pas majorés.

Pour $cA$ : si $0 < c < +\infty$ , l'application $x \mapsto cx$ est une bijection croissante de $[0, +\infty]$ sur lui-même, qui conserve donc les bornes supérieures ; si $c = 0$ , les deux membres sont nuls ; si $c = +\infty$ , les deux membres valent $0$ si $A = \{0\}$ , et $+\infty$ sinon.

Pour deux suites croissantes, $a_m + b_n \leqslant a_k + b_k$ avec $k = \max(m, n)$ , donc $\begin{aligned} \sup_k (a_k + b_k) &= \sup_{m,n}(a_m + b_n) \\ &= \sup a + \sup b. \end{aligned}$

(iii) Toute partie finie de $\mathbb N$ est contenue dans un $\{0, \dots, N - 1\}$ : la borne supérieure sur les parties finies est celle des sommes partielles, suite croissante.

(iv) Si $F \subset I$ est fini, il ne rencontre qu'un ensemble fini $G$ d'indices $j$ , et $\sum_F a_i = \sum_{j \in G} \sum_{F \cap I_j} a_i,$ majoré par le second membre.

Réciproquement, pour $G \subset J$ fini et des parties finies $F_j \subset I_j$ , $\sum_{j \in G} \sum_{F_j} a_i = \sum_{\bigcup F_j} a_i$ est majoré par le premier membre ; en prenant la borne supérieure sur chaque $F_j$ , grâce à (ii), puis sur $G$ , on obtient l'autre inégalité.

Une bijection $\beta : I' \to I$ définit une partition de $I'$ en singletons $\{\beta^{-1}(i)\}$ ; pour les sommes doubles, on partitionne $\mathbb N \times \mathbb N$ en lignes, puis en colonnes.

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Remarque

Pour des termes positifs, l'ordre de sommation est indifférent. L'erreur la plus répandue est d'étendre ce fait aux séries de signe quelconque : la série $1 - \frac12 + \frac13 - \frac14 + \cdots$ converge, mais un réarrangement de ses termes peut converger vers n'importe quel réel donné à l'avance (théorème de Riemann). La théorie de l'intégrale se construit donc d'abord pour les fonctions positives.

Remarque

La convention $0 \cdot (+\infty) = 0$ n'est pas arbitraire : l'intégrale de la fonction nulle sur un ensemble de mesure infinie, ou d'une fonction infinie sur un ensemble de mesure nulle, doit valoir $0$ . Elle rend la multiplication de $[0, +\infty]$ associative et distributive, mais pas continue : $\frac1n \cdot (+\infty) = +\infty$ ne tend pas vers $0 \cdot (+\infty)$ .

Repose sur

Analyse réelle

Sert à

Mesures et premières propriétés Fonctions mesurables