Définition 2Mesure, intégration

Mesures et premières propriétés

Une mesure sur un espace mesurable $(X, \mathcal A)$ est une application $\mu : \mathcal A \to {[0, +\infty]}$ telle que $\mu(\varnothing) = 0$ et, pour toute famille $(A_n)_{n \in {\mathbb N}}$ d'éléments de $\mathcal A$ deux à deux disjoints, $\mu\Big(\bigcup_n A_n\Big) = \sum_n \mu(A_n).$

Le triplet $(X, \mathcal A, \mu)$ est un espace mesuré. Une partie $N \in \mathcal A$ telle que $\mu(N) = 0$ est négligeable, et une propriété est vraie presque partout si elle l'est hors d'un ensemble négligeable.

La mesure est finie si $\mu(X) < +\infty$ , et σ-finie si $X$ est la réunion d'une suite croissante de parties mesurables de mesure finie.

Énoncé

(i) $\mu$ est additive et croissante ; si $A \subset B$ et $\mu(A) < +\infty$ , alors $\mu(B \setminus A) = \mu(B) - \mu(A)$ .

(ii) Sous-additivité. $\mu\big(\bigcup_n A_n\big) \leqslant \sum_n \mu(A_n)$ pour toute suite d'éléments de $\mathcal A$ .

(iii) Continuité. Si $(A_n)$ est croissante, $\mu\big(\bigcup_n A_n\big) = \lim_n \mu(A_n)$ . Si $(A_n)$ est décroissante et $\mu(A_0) < +\infty$ , $\mu\big(\bigcap_n A_n\big) = \lim_n \mu(A_n)$ .

Démonstration

(i) On complète une famille finie disjointe par des $\varnothing$ . Si $A \subset B$ , $B = A \cup (B \setminus A)$ donne $\mu(B) = \mu(A) + \mu(B \setminus A) \geqslant \mu(A)$ , et la soustraction est permise si $\mu(A)$ est fini.

(iii) Posons $B_0 = A_0$ et $B_{n+1} = A_{n+1} \setminus A_n$ : ces parties sont disjointes, $A_n = B_0 \cup \cdots \cup B_n$ et $\bigcup A_n = \bigcup B_n$ . Alors, par le point (iii) de Sommes dans [0, +∞], $\begin{aligned} \mu\Big(\bigcup A_n\Big) &= \sum_n \mu(B_n) \\ &= \lim_N \sum_{n \leqslant N} \mu(B_n) \\ &= \lim_N \mu(A_N). \end{aligned}$

Dans le cas décroissant, on applique ce qui précède à la suite croissante $A_0 \setminus A_n$ , et l'on soustrait de $\mu(A_0)$ , qui est fini.

(ii) Avec $B_0 = A_0$ et $B_{n+1} = A_{n+1} \setminus (A_0 \cup \cdots \cup A_n)$ , les $B_n$ sont disjoints, de même réunion que les $A_n$ , et $\mu(B_n) \leqslant \mu(A_n)$ par croissance.

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Remarque

Sur ${\mathcal P}(X)$ , la mesure de Dirac $\delta_x(A) = \mathbf 1_A(x)$ concentre toute la masse en un point, et la mesure de comptage associe à $A$ son nombre d'éléments s'il est fini, $+\infty$ sinon. Ce sont les deux exemples à garder en tête : la seconde fait des séries un cas particulier des intégrales.

Remarque

L'hypothèse $\mu(A_0) < +\infty$ ne peut pas être omise dans la continuité décroissante. Pour la mesure de comptage sur $\mathbb N$ , les parties $A_n = \{n, n + 1, \dots\}$ sont toutes de mesure infinie, mais leur intersection est vide.

Repose sur

La demi-droite achevée et les sommes positives Tribus et tribu borélienne

Sert à

Lemme de Dynkin et unicité des mesures Mesures extérieures et théorème de Carathéodory Intégrale des fonctions positives