Applications croissantes, isomorphismes d'ordres

(i) Si $x \leqslant y$, alors $f(x) \leqslant f(y)$, puis $g(f(x)) \leqslant g(f(y))$. Pour un isomorphisme $f$, la condition $x \leqslant y \iff f(x) \leqslant f(y)$, lue avec $x = f^{-1}(x')$ et $y = f^{-1}(y')$, est exactement celle de $f^{-1}$.

(ii) Si $x \neq y$, on a $x < y$ ou $y < x$ par totalité, donc $f(x) < f(y)$ ou $f(y) < f(x)$, et $f(x) \neq f(y)$. Si $f(x) \leqslant f(y)$ et $y < x$, on aurait $f(y) < f(x)$, ce qui contredirait l'asymétrie si $f(x) < f(y)$ et l'irréflexivité si $f(x) = f(y)$ ; donc $x \leqslant y$ par totalité.

(iii) Une bijection croissante est strictement croissante, puisque $x < y$ donne $f(x) \leqslant f(y)$ et $f(x) \neq f(y)$. On applique (ii).