Complétion par les coupures de Dedekind

$\widehat E$ existe par séparation dans ${\mathcal P}(E)$.

Totalité. Soient $C$ et $D$ deux coupures avec $C \not\subset D$, et $c \in C \setminus D$. Pour $d \in D$, on ne peut avoir $c \leqslant d$, sinon $c \in D$, $D$ étant un segment initial ; donc $d < c$ par totalité de $E$, et $d \in C$, $C$ étant un segment initial. Ainsi $D \subset C$.

Borne supérieure. Soit $\mathcal A$ un ensemble non vide de coupures, majoré par une coupure $D$, et $U = \bigcup \mathcal A$. Alors $U$ est non vide, contenu dans $D$ donc différent de $E$, et c'est un segment initial, comme réunion de segments initiaux.

Il n'a pas de plus grand élément : un $u \in U$ appartient à une coupure $C \in \mathcal A$, qui contient un élément $u' > u$, lui aussi dans $U$. Donc $U$ est une coupure ; elle contient chaque élément de $\mathcal A$ et elle est contenue dans tout majorant de $\mathcal A$ : $U = \sup \mathcal A$.

Plongement. Pour $x \in E$, la demi-droite $]{\leftarrow}, x[$ est un segment initial ; elle est non vide, puisque $x$ n'est pas le plus petit élément ; elle ne contient pas $x$ ; et si elle avait un plus grand élément $m < x$, la densité fournirait $z$ avec $m < z < x$, contradiction. C'est donc une coupure.

Si $x < x'$, alors $$]{\leftarrow}, x[\; \subset \;]{\leftarrow}, x'[,$$ et $x$ appartient à la seconde sans appartenir à la première : $j$ est strictement croissante, donc un isomorphisme sur son image (Applications croissantes).