Définition 1Structures d'ordre

Intervalles et segments

Énoncé

Dans un ensemble totalement ordonné $E$ , une partie $I$ est un intervalle si, pour tous $x \leqslant y$ dans $I$ , tout $z$ vérifiant $x \leqslant z \leqslant y$ appartient à $I$ .

Pour $a \leqslant b$ , le segment d'extrémités $a$ et $b$ est $[a, b] = \{x : a \leqslant x \leqslant b\}$ ; on définit de même $]a, b[$ , $[a, b[$ , $]a, b]$ , et les demi-droites $]{\leftarrow}, a[ = \{x : x < a\}$ , $]{\leftarrow}, a]$ , $]a, {\rightarrow}[$ , $[a, {\rightarrow}[$ .

Une partie $C$ est un segment initial si $x \in C$ et $y \leqslant x$ entraînent $y \in C$ .

Toutes ces parties sont des intervalles, et toute intersection d'intervalles est un intervalle.

Démonstration

Si $x \leqslant z \leqslant y$ avec $a \leqslant x$ et $y \leqslant b$ , alors $a \leqslant z \leqslant b$ par transitivité ; les inégalités strictes se traitent de même, et un segment initial contient tout $z \leqslant y$ . Si $x$ et $y$ appartiennent à chacun des intervalles d'une famille, il en va de même de tout $z$ compris entre eux.

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Remarque

Une réunion d'intervalles n'en est pas un en général ; elle en est un si les intervalles ont un point commun. La connexité, au nœud Connexité, retrouvera exactement les intervalles de $\mathbb R$ .

Repose sur

Ordres larges, ordres stricts

Sert à

Bons ordres Complétion par les coupures de Dedekind