Proposition 1Structures d'ordre

Ordres larges, ordres stricts

Une relation d'ordre sur $E$ est une relation réflexive, antisymétrique et transitive (Relation), notée $\leqslant$ ; le couple $(E, \leqslant)$ est un ensemble ordonné. Un ordre strict est une relation irréflexive et transitive, notée $<$ . Un ordre est total si deux éléments quelconques sont comparables : $x \leqslant y$ ou $y \leqslant x$ .

Toute partie $F$ d'un ensemble ordonné est ordonnée par la restriction de l'ordre à $F \times F$ , l'ordre induit.

Énoncé

(i) Si $\leqslant$ est une relation d'ordre, la relation « $x \leqslant y$ et $x \neq y$ » est un ordre strict.

(ii) Si $<$ est un ordre strict, la relation « $x < y$ ou $x = y$ » est une relation d'ordre.

(iii) Ces deux passages sont réciproques l'un de l'autre. Un ordre strict est de plus asymétrique : $x < y$ et $y < x$ ne se produisent jamais ensemble.

Démonstration

(i) On n'a jamais « $x \leqslant x$ et $x \neq x$ » : la relation est irréflexive. Si $x < y$ et $y < z$ , alors $x \leqslant z$ par transitivité ; si l'on avait $x = z$ , on aurait $x \leqslant y$ et $y \leqslant x$ , donc $x = y$ par antisymétrie, ce qui est exclu.

(ii) La réflexivité vient du cas $x = y$ . Si $x \leqslant y$ et $y \leqslant z$ , ou bien l'une des deux relations est une égalité, et la conclusion $x \leqslant z$ est l'autre, ou bien $x < y$ et $y < z$ , et $x < z$ par transitivité. Si $x \leqslant y$ et $y \leqslant x$ avec $x \neq y$ , alors $x < y < x$ , donc $x < x$ par transitivité, ce qu'interdit l'irréflexivité.

(iii) Partant de $\leqslant$ , la relation « $x \leqslant y$ et $x \neq y$ , ou $x = y$ » est $\leqslant$ ; partant de $<$ , la relation « ( $x < y$ ou $x = y$ ) et $x \neq y$ » est $<$ , par irréflexivité. Enfin $x < y < x$ donnerait $x < x$ .

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Remarque

L'inclusion est l'exemple fondamental : pour tout ensemble $E$ , $({\mathcal P}(E), \subset)$ est un ensemble ordonné. Il n'est pas total dès que $E$ contient deux éléments distincts $a$ et $b$ , puisque $\{a\}$ et $\{b\}$ ne sont pas comparables.

Remarque

L'erreur la plus répandue est de croire que « $x \not\leqslant y$ » signifie « $y < x$ ». Ce n'est vrai que pour un ordre total ; dans $\mathcal P(E)$ , $\{a\} \not\subset \{b\}$ sans que $\{b\} \subsetneq \{a\}$ .

Remarque

Si $\leqslant$ est un ordre sur $E$ , la relation réciproque $\geqslant$ en est un aussi, l'ordre opposé. Chaque énoncé sur les majorants a ainsi un énoncé jumeau sur les minorants, qu'on ne répète pas.

Repose sur

Relations, fonctions

Sert à

Majorants, plus grand élément, borne supérieure Applications croissantes, isomorphismes d'ordres Intervalles et segments