Proposition 2Structures d'ordre

Majorants, plus grand élément, borne supérieure

Soit $A$ une partie de l'ensemble ordonné $E$ . Un majorant de $A$ est un $M \in E$ tel que $x \leqslant M$ pour tout $x \in A$ ; la partie $A$ est majorée si elle en a un.

Un plus grand élément de $A$ est un majorant de $A$ qui appartient à $A$ . Un élément maximal de $A$ est un $m \in A$ tel qu'aucun $x \in A$ ne vérifie $m < x$ .

La borne supérieure de $A$ , notée $\sup A$ , est, s'il existe, le plus petit élément de l'ensemble des majorants de $A$ .

Les notions de minorant, plus petit élément, élément minimal et borne inférieure $\inf A$ sont les mêmes pour l'ordre opposé.

Énoncé

(i) Une partie a au plus un plus grand élément, et au plus une borne supérieure.

(ii) Si $A$ a un plus grand élément $m$ , alors $\sup A$ existe et vaut $m$ .

(iii) Un plus grand élément de $A$ est l'unique élément maximal de $A$ . Dans un ordre total, réciproquement, un élément maximal est le plus grand élément.

(iv) Un élément $s$ est la borne supérieure de $A$ si et seulement si $s$ majore $A$ et si tout majorant $M$ de $A$ vérifie $s \leqslant M$ .

Démonstration

(i) Si $m$ et $m'$ sont deux plus grands éléments, chacun majore l'autre, et $m = m'$ par antisymétrie. La borne supérieure est un plus petit élément, donc unique par l'énoncé jumeau.

(ii) $m$ est un majorant de $A$ , et tout majorant $M$ vérifie $m \leqslant M$ puisque $m \in A$ .

(iii) Si $m$ est le plus grand élément et $m < x$ avec $x \in A$ , alors $x \leqslant m$ , ce qui contredit l'asymétrie si $x < m$ et l'irréflexivité si $x = m$ . Si $m'$ est maximal, $m' \leqslant m$ , et $m' < m$ est exclu, donc $m' = m$ . Dans un ordre total, si $m$ est maximal, tout $x \in A$ vérifie $x \leqslant m$ , puisque $m < x$ est exclu.

(iv) C'est la définition, écrite en deux conditions.

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Remarque

Dans un ordre non total, maximal ne veut pas dire plus grand. Si $E$ contient deux éléments distincts, la partie de ${\mathcal P}(E)$ formée des parties différentes de $E$ a pour éléments maximaux les complémentaires $E \setminus \{a\}$ des singletons, et elle n'a pas de plus grand élément. C'est cette distinction que le lemme de Zorn, au nœud Lemme de Zorn, met en jeu : il fournit un élément maximal, jamais un plus grand.

Pour

E = \{a, b, c\}

, une fois

E

retiré, les trois paires, en rouge, sont maximales : aucune partie restante ne les contient strictement. Aucune d'elles ne contient les deux autres, de sorte que la partie n'a pas de plus grand élément.

Remarque

Dans $(\mathcal P(E), \subset)$ , toute partie $\mathcal A$ a une borne supérieure, $\bigcup \mathcal A$ , et, si elle est non vide, une borne inférieure, $\bigcap \mathcal A$ . La borne inférieure de la partie vide est $E$ , qui est majorant de tout.

Repose sur

Ordres larges, ordres stricts

Sert à

Treillis et treillis complets Bons ordres Chaînes et ensembles inductifs