Chaînes et ensembles inductifs

La partie vide est une chaîne ; un ensemble inductif est donc non vide, puisque la chaîne vide doit y être majorée. Cette subtilité évite d'ajouter l'hypothèse « non vide » dans le lemme de Zorn.

Exemple type : l'ensemble des applications d'une partie de $I$ dans un ensemble $X$ fixé, ordonné par inclusion des graphes, est inductif, car la réunion des graphes d'une chaîne de telles applications est encore le graphe d'une telle application. C'est sur des exemples de ce type que le lemme de Zorn, énoncé et démontré au graphe des ordinaux, fournit des fonctions de choix, des bases et des idéaux maximaux.

Le mot « inductif » a un autre sens, sans rapport, pour les ensembles stables par successeur (axiome de l'infini). Le lexique distingue les deux entrées.