Lemme de Zorn ⋆

Le choix entraîne Zorn. Soit $(E, \leqslant)$ inductif. Il est non vide, puisque la chaîne vide est majorée. Supposons qu'il n'ait pas d'élément maximal. Pour toute chaîne $C$, l'ensemble $S(C)$ de ses majorants stricts est alors non vide : un majorant $M$ de $C$ n'est pas maximal, et tout $x > M$ est un majorant strict.

Soit $c$ une fonction de choix sur les parties non vides de $E$ et $e_0 \in E$. On définit $F$ sur l'ordinal de Hartogs $h(E)$ par récursion transfinie : $$F(\alpha) = c\big(S(F[\alpha])\big)$$ si l'image $F[\alpha] = \{F(\beta) : \beta < \alpha\}$ est une chaîne, et $F(\alpha) = e_0$ sinon.

Par induction transfinie, pour tout $\alpha < h(E)$, $F[\alpha]$ est une chaîne et $F(\alpha)$ en est un majorant strict : si c'est vrai au-dessous de $\alpha$, deux éléments $F(\beta)$ et $F(\gamma)$ avec $\beta < \gamma < \alpha$ vérifient $F(\beta) < F(\gamma)$, donc $F[\alpha]$ est une chaîne, et $F(\alpha)$ est pris parmi ses majorants stricts.

Ainsi $F$ est strictement croissante, donc injective, de $h(E)$ dans $E$, ce qu'exclut le théorème de Hartogs.

Zorn entraîne le choix. Soit $(A_i)_{i \in I}$ une famille d'ensembles non vides. Soit $E$ l'ensemble des fonctions de choix partielles, c'est-à-dire des parties $g$ de $I \times \bigcup_i A_i$ qui sont le graphe d'une application définie sur une partie $J \subset I$ et vérifient $g(i) \in A_i$ pour tout $i \in J$ ; c'est une partie de $\mathcal P\big(I \times \bigcup_i A_i\big)$, ordonnée par inclusion. La réunion des graphes d'une chaîne de $E$ est encore le graphe d'une telle application, puisque deux éléments de la chaîne, comparables, coïncident là où ils sont tous deux définis ; elle majore la chaîne, et $E$ est inductif.

Soit $g$ maximal, de domaine $J$. Si $J \neq I$, on prend $i_0 \in I \setminus J$ et $a \in A_{i_0}$, et $g \cup \{(i_0, a)\}$ contredit la maximalité ; ce choix unique ne demande aucun axiome. Donc $g$ est une fonction de choix sur $I$.